http://www.paper.edu.cn关于商高数猜想的证明唐子周唐世敬新疆、且末县中学，841900tzz689@163.com摘要:针对商高数猜想采用反证法,命题转化法，递降法推出了该猜想不成立的必要条件—同余式,只要能证明这个同余式不成立就完全解决了该猜想;而且,由此给出了商高数猜想成立的部分情况证明。关键词:商高数猜想;勾股数定理;不定方程；递降法1.引言商高数猜想即:对于正整数a,b,c以及均大于1的正整数x,y,z;如果有a2b2c2和axbycz成立,那么x=y=z=2。这个猜想历经漫长的岁月,让无数的数学家呕心沥血却无法攻开它;“1963­1964年柯召,孙琦证明了当a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1时,猜想对于n＜6144成立”见[1]。本文对猜想进行了有效的转化,只要能证明a2x2b2y20(modc2)不成立就完全解决了这个猜想;而且,在利用同余性质进行运算过程中采用递降法,给出了对于x=y的情况中只有x，y同为2的奇数倍除外，商高数猜想成立的证明。2.猜想的转化及证明2.1.猜想的转化由《数学猜想集》第8­17页的勾股数定理1.2.1“不定方程x2y2z2的适合条件x＞0,y＞0,z＞0,(x,y)=1,2|x的一切正整数解的充分必要条件是x=2mn,ym2n2,zm2n2,其中m,n均为正整数,且有m＞n,(m,n)=1,m,n对于(mod2)不同余.”见[1]。假定:商高数猜想不成立,而当a2b2c2时,有axbycz成立,a,b,c均为正整数,x,y,z均为大于1的正整数,且不全为2.由勾股数定理可知a,b,c均为正整数,且a≠b;a2b2c2,a=2mn,bm2n2,cm2n2,其中m,n均为正整数,且有m＞n,(m,n)=1,m,n对于(mod2)不同余;得:a2ax2b2ax2c2ax2,根据假定axbycz,两式相减得:2x2y2x2zbabcac,显然,无论x,y为任何一对正整数值,必对应存在一个整数r2x2y2x2y2x2z的值满足babr①成立;由babcac可知必存在适当的整1http://www.paper.edu.cn2x2z2x2y2x2z数r值满足cacr②也成立,否则babcac不成立;r∈Z,Z是全体整数的集合.2y22y22y2xyz同理由abbbcb,abc2y2x2y2z两式相减得:abacbc2y2x2y2z因而abah③,cbch④,h∈Z,也就是说无论r,h的值为正,为负或为零皆可这样表示。xy由①×③得rahbrh0⑤4x2y22zz由②×④得cabcc(rh)rh⑥设r+h=X,rh=Y,那么必存在一个整数值t使得X=t,t∈Z,由⑥及<<初等数论>>4x2y22zz中不定方程的定理1，见[2]得Ycabcct由⑤得Y[raxhby]x22zy22z把racc，hbcc,xyzabc代入得:xx22zyy22za(acc)b(bcc)a2x2c2b2y2c2c2z4x2y22zz=cabcct22x2y22z2z22x22y22z2约去c得:cabcct=abc把t=r+h=by2c2ax2c22cz代入并化简得:zx2y2z2x2y22x22y2cabccab=ab;显然a2x2b2y20(modc2)只要能证明a2x2b2y20(modc2)不成立就完全解决了商高数猜想。）2.2.猜想的证明（递降法）因为a2b20(modc2),由a2x2b2y20(modc2)根据《初等数论》第49-50页同余的性质，见[2]得:a2x2b2y2a2b20(modc2)(a2x41)(a2b2)b2(b2y4a2x4)0(modc2)2http://www.paper.edu.cn因为a2b20(modc2);(b,c)=1，(b2,c2)=1所以b2y4a2x40(modc2)2y42x4222同上理baab0(modc)2x62222y42x62即：(1a)(ab)b(ba)0(modc)因为a2b20(modc2);