九年级数学(上)第五章反比例函数数学很神奇世界三大几何难题世界三大几何难题世界三大几何难题世界三大几何难题挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”挑战“自我”结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.挑战“自我”如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得:挑战“自我”挑战“自我”任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你准备怎么去做?小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.猜想,证明与拓广如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢?解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得x(1.5-x)=1.即2x2-3x+2=0.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求矩形的长为x,根据题意所得的方程均有没有实数根解,则说明这样的矩形不存在.挑战“自我”挑战“自我”结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.挑战“自我”结论:如果矩形的长和宽满足m2+n2≥6mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.挑战“自我”知识的升华结束寄语