第七节正弦定理和余弦定理题号1234567答案1.△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，则∠C＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)答案：B2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)解析：△ABC中，a，b，c成等比数列，且c＝2a，则b＝eq\r(2)a，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).故选B.答案：B3.(2013·广西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(3,4)解析：∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝eq\f(1,3).∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×3×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A4．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，则三角形的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：∵sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，∴sinBsinC＝eq\f(1＋cosA,2).∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]．将cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得cosBcosC＋sinBsinC＝1.∴cos(B－C)＝1.又0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π，∴B－C＝0.∴B＝C.故此三角形是等腰三角形．故选D.答案：D5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，则B＝()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：由余弦定理可知：acosB＋bcosA＝aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋beq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝csinC，于是sinC＝1，C＝eq\f(π,2)，从而S＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)＝eq\f(1,4)(b2＋b2)，解得a＝b，∴B＝45°.故选C.答案：C6．(2013·皖南八校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＋c＝4，∠B＝30°，则c＝()A.eq\f(13,5)B.eq\f(12,5)C．3D.eq\f(13,4)解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋（c＋b）（c－b）,2ac)，∵a＝eq\r(3)，b＋c＝4，∠B＝30°，∴cosB＝eq\f(3＋4（c－b）,2\r(3)c)＝eq\f(\r(3),2)，即3＋4(c－b)＝3c，3＋c＝4b，结合b＋c＝4解得c＝eq\f(13,5).故选A.答案：A7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5解析：由23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝25cos2A－1＝0.所以cosA＝eq\f(1,5)，由a2＝b2＋c2－2bccosA得：72＝b2＋62－12b×eq\f(1,5)，解之得：b＝5，b＝－eq\f(13,5)(舍去)．故选D.答案：D8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac.所以a2＋c2＋ac－b2＝0.答案：09．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝eq\f(π,3)，则该三角形面积的最大值是________．解析：a2＝b2＋c2－2