PAGE\*MERGEFORMAT43.1导数与积分一、选择题1.(2022届安徽八校联考,4)设函数f(x)的导函数为f'(x).若f(x)=exsinx,则f'(0)=()A.1B.0C.-1D.2答案Af'(x)=exsinx+excosx,所以f'(0)=e0sin0+e0cos0=1,故选A.2.(2022届山西忻州月考,8)已知函数f(x)=x3-f'(1)x2+2的导数为f'(x),则f'(1)等于()A.-1B.0C.1D.2答案C由已知得f'(x)=3x2-2f'(1)x,所以f'(1)=3-2f'(1),解得f'(1)=1.故选C.3.(2022届山西朔州月考,5)已知函数f(x)=x(2020+lnx),若f'(x0)=2021,则x0等于()A.ln2B.1C.eD.e2答案Bf'(x)=2020+lnx+1=2021+lnx,则f'(1)=2021,∴x0=1.故选B.4.(2022届重庆南开中学质检一,4)若曲线y=lnxx-ax2(a∈R)在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=()A.-12B.-14C.12D.2答案A由于y'=1-lnxx2-2ax,则y'|x=1=1-ln112-2a=1-2a,由已知可得1-2a=2,解得a=-12,故选A.5.(2022届华大新高考联盟联考,5)已知f(x)=ax+a+cosx(a∈R),则曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为()A.x-y+2=0B.x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y-2=0答案A因为点(0,2)在曲线上,所以f(0)=a+cos0=2,于是a=1,所以f(x)=x+cosx+1,则f'(x)=1-sinx,则f'(0)=1,故所求切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0.6.(2022届山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=lnx+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案C设直线l与曲线f(x)=ex-1相切于点(m,em-1),与曲线g(x)=lnx+1相切于点(n,lnn+1),对f(x)=ex-1求导得,f'(x)=ex,则k1=em,则直线l的方程为y+1-em=em(x-m),即y=emx+em(1-m)-1.对g(x)=lnx+1求导得,g'(x)=1x,则k2=1n,则直线l的方程为y-(lnn+1)=1n(x-n),即y=1nx+lnn.由直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线,得em=1n,(1-m)em=lnn+1,可得(1-m)(em-1)=0,即m=0或m=1.则切线方程为y=ex-1或y=x,公切线有两条.故选C.二、填空题7.(2022届河南名校阶段测试,13)已知函数f(x)=x3-2x2+x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为.答案5x-y-8=0解析由f(x)=x3-2x2+x得f'(x)=3x2-4x+1,∴f'(2)=3×22-4×2+1=5,又f(2)=23-2×22+2=2,∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-2=5(x-2),即5x-y-8=0.8.(2022届江西名校调研,16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析由y=x+lnx得y'=1+1x,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.将y=2x-1代入y=ax2+(a+2)x+1,消去y,得ax2+ax+2=0,由题意得a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.三、解答题9.(2022届北京十五中10月月考,19)已知函数f(x)=2x+alnx,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;(2)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.解析(1)∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,∴曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线斜率为-1.函数f(x)的导数为f'(x)=-2x2+ax,∴f'(1)=-212+a1=-1,∴a=1.(2)f'(x)=-2x2+ax=ax-2x2,x∈(0,e],①当a=0时,f'(x)=-2x2<0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=2e.②当a<0时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=2e+a.③当0<2a