第四章总体分布、样本分布与参数估计§4.1总体分布与样本分布2、样本观测值n次随机抽样的结果：x1，x2，···，xn（称为随机样本X1，X2，···，Xn的样本观测值）。n称为随机样本向量（X1，X2，···，Xn）的维度，即自由度。3、样本（累积）分布函数设样本观测值x1x2,···,xnki为小于xi+1的样本值出现的累积频次,n为样本容量,则可得样本累积频率分布函数如下:样本分布与总体分布随机样本的均值函数和方差函数都是一个随机变量.样本数据的样本均值x是随机变量X的观测值；样本数据的样本方差s2是随机变量S2的观测值.随机样本的均值函数：统计量的值的定义:统计量的值是不含未知参数的,样本观测值x1，x2，···，xn的函数.n=12、t分布自由度为n的t分布，记为t（n），是由N（0，1）分布和2（n）分布组成的，其表达式为：m=100，n=20五、由一般正态分布的随机样本所构成的若干重要统计量的分布定理：若X1，X2，···,Xn是正态总体N（，2）的一个随机样本，则样本均值函数和样本方差函数，满足如下性质：（5）服从t（n-1）分布；（3）服从F（n1-1，n2-1）。六、任意分布的随机样本均值函数的均值与方差设：随机变量X服从任何均值为，标准差为的分布，X是随机样本X1，X2，···,Xn的均值函数。记随机变量X的分布函数的均值为X，标准差为X,则有如下结论成立：X=;(2)X=/n或2X=2/n方差的均值也是总体中某类个体的比例p.所以,常用x来估计p.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.根据中心极限定理中心极限定理可得：对比总体参数和样本统计量若得到一组样本观测值x1，x2，···，xn，就可得出的估计值，记：。对比总体参数和样本统计量2、矩法估计就是用样本矩来估计总体矩。矩的一般形式：E（Xk）表示k阶原点矩（以原点为中心）；E（X-）k表示k阶中心矩（以为中心）；3、极大似然估计法设：总体X的（累积）概率分布函数为F（x,）,概率密度函数f(x,),其中为未知参数(也可以表示未知参数向量).若X为离散型随机变量,则由离散型与连续型的对应关系,f(x,)对应于离散情况下的概率P(X=x).X为连续型随机变量时,X的随机样本X1，X2，···,Xn的联合概率密度函数为例:设x1，x2，···,xn是正态总体N（，2）的一个样本观测值，求与2的极大似然估计值.解:极大似然函数为例:设X服从区间[a,b]上的均匀分布，a、b是求知参数，（x1，x2，···,xn）是来自总体X的样本，求a、b的矩估计量解:X的密度函数§4.3判别点估计的优劣标准那么，该估计量为有效估计量。9、渐进有效性如果一个估计量满足：（1）是一致估计量；（2）比其它的估计量更小的渐进方差。例:设（x1，x2，···,xn）是来自具有有限数学期望的任一总体X的一个样本，记E（X）=a,证明：§4.4区间估计测值x1，x2，···，xn，求总体均值的100(1-)%（如=95%）的置信区间。首先构造：Z/2得到:3、总体均值的置信区间（总体方差未知）设：总体X服从已知N（，2），2未知，抽取n个观测值x1，x2，···，xn，求总体均值的100(1-)%=95%的置信区间。首先构造：由：得到置信区间：orequivalently,wherethemarginoferror,thesamplingerror,orbound,B,isgivenbyandZ/2,isthenumberforwhichastandardnormalvariableZsatisfies总体方差的区间估计(例题分析)总体方差的区间估计(例题分析)总体均值的区间估计(例题分析)总体均值的区间估计(例题分析)对比总体参数和样本统计量对比总体参数和样本统计量对比总体参数和样本统计量对比总体参数和样本统计量对比总体参数和样本统计量总体均值的置信区间--已知总体均值的置信区间--已知总体均值的置信区间--已知总体均值的置信区间--已知如果总体的未知，则的抽样分布服从自由度为n–1的t分布，即总体均值的置信区间–未知总体均值的置信区间–未知总体均值的置信区间–未知总体均值的置信区间–未知总体均值的置信区间–未知总体均值的置信区间--样本容量总体均值的置信区