(每日一练)通用版2023高中数学函数的应用常考点单选题1、一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g2=0.301，1g3=0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时答案：A解析：药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．设从现在起经过푥小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．푥푥푥则2500×0.8=1500，0.8=0.6，lg0.8=lg0.6，푥lg0.8=lg0.6，6lglg0.610lg2+lg3−10.301+0.4771−1푥==8==≈2.3．lg0.8lg3lg2−13×0.301−110故选：A．2、某品牌牛奶的保质期푦（单位：天）与储存温度푥（单位：°퐶）满足函数关系푦=푎푘푥+푏(푎>0,푎≠1).该品牌牛奶在0°퐶的保质期为270天，在8°퐶的保质期为180天，则该品牌牛奶在24°퐶的保质期是（）A．60天B．70天C．80天D．90天答案：C解析：1根据题意将푥=0或8代入表达式即可求解.8푘+푏0+푏8푘+푏8푘푎2由题意可知，푎=270，푎=180，可得푎==，푎푏3324푘+푏8푘3푏2所以푎=(푎)푎=()×270=80，3故该品牌牛奶在24°퐶的保质期是80天.故选：C小提示：本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题.푙표푔푥，푥>03、若函数푓(푥)={2有且只有一个零点，则푎的取值范围是（）−2푥−푎，푥≤0A．(−∞,−1)∪(0,+∞)B．(−∞,−1)∪[0,+∞)C．[−1,0)D．[0,+∞)答案：B解析：由푓(푥)=0可知当푥>0时，因为log21=0，所以有一个零点，进而可知当푥≤0时，函数푓(푥)没有零点即可，进而结合指数函数的性质讨论得出结果.解：当푥>0时，因为log21=0，所以有一个零点，푙표푔푥，푥>0所以要使函数푓(푥)={2有且只有一个零点，−2푥−푎，푥≤0则当푥≤0时，函数푓(푥)没有零点即可，当푥≤0时，0<2푥≤1，∴−1≤−2푥<0，−1−푎≤−2푥−푎<−푎，所以−푎≤0或−1−푎>0，即푎≥0或푎<−1.即푎的取值范围是(−∞,−1)∪[0,+∞).2故选：B.小提示：本题考查函数零点的应用，考查指数函数和对数函数的性质，考查推理能力，属于基础题.解答题4、某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位푘每年向自来水公司缴纳水费为휑(푥)=（푥≥0，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：5푥+50平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.（1）解释휑(0)的实际意义；（2）求y的最小值.答案：（1）휑(0)表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）푦的最小值为3万元.解析：（1）根据题意，即可知道实际意义（2）建立关于푥的函数，求最值即可.解（1）휑(0)表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.푘（2）由휑(0)==4∴푘=2005×0+5020040푦=0.1푥+=0.1푥+5푥+50푥+10400=0.1[(푥+10)+]−1푥+10∵푥≥0∴푥+10≥10400400∴푦=0.1[(푥+10)+]−1≥0.1×2√(푥+10)−1=3（万元）푥+10푥+103400当且仅当푥+10=即푥=10时取“=”푥+10答：푦的最小值为3万元.5、如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD