2006年8月重庆文理学院学报(自然科学版)Aug,2006第5卷第3期JournalofChongqingUniversityofArtsandSciences(NatureSciencesEdition)Vol5No3积分第一中值定理的证明及其推广李仕琼1梁波2(1.泸州医学院数学与信息技术系,四川泸州646000;2.重庆医科大学数学系,重庆渝中区400016)[摘要]在条件完全相同的情况下改进积分第一中值定理,并利用变上限积分函数和拉格郎日中值定理证明该定理,并给出积分第一中值定理的几个推广[关键词]积分第一中值定理;证明;推广[中图分类号]O171[文献标识码]A[文章编号]1671-7538(2006)03-0014-031引言现行的诸多教材中给出积分第一中值定理的结论较弱(存在[a,b])本文在相同的条件下对定理进行改进,加强结论(存在(a,b))同时给出积分第一中值定理的几个推广2积分第一中值定理b若f在[a,b]上连续,则至少存在一点(a,b),使得f(x)dx=f()(b-a)ax证明:作辅助函数F(x)=f(t)dt,x[a,b]a则F(x)是[a,b]上的可导函数,且F(x)=f(x)由拉格朗日定理,至少存在一点(a,b),b使得F(b)-F(a)=F()(b-a)注意到,F(b)=f(x)dx,F(a)=0,即有:abf(x)dx=f()(b-a),(a,b)a3积分第一中值定理的推广推广1若f在(a,b)内连续,且在[a,b]上可积,则至少存在一点(a,b),使得bf(x)dx=f()(b-a)a证明同上,只是这里的F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导推广2若f在(a,b)内连续,在任何[a,c][a,b)上可积,又limf(x)=且反常积分xb-bbf(x)dx收敛,则至少存在一点(a,b),使得f(x)dx=f()(b-a)aaxb证明:令F(x)=f(t)dt,x[a,b),且定义F(b)=f(t)dt那么有:aaxblimF(x)=limf(t)dt=f(x)dx=F(b),xb-xb-aa从而F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(x)=f(x)由拉格朗日定理,至少存在一点b(a,b),使得F(b)-F(a)=F()(b-a)即f(x)dx=f()(b-a),(a,b)a[收稿日期]2006-04-10[作者简介]李仕琼(1976-),女,四川泸州人,助教14推广3若f在(a,b)内连续,在任何[c,b](a,b]上可积,又limf(x)=且反常积分xa+bbf(x)dx收敛,则至少存在一点(a,b),使得f(x)dx=f()(b-a)aa证法类似于推广2推广4若f在(a,b)上连续,在任何[c,d](a,b)上可积,又limf(x)=,limf(x)=xa+xb-b且反常积分f(x)dx收敛,则至少存在一点(a,b),使得abf(x)dx=f()(b-a)abxba+b0证明:取x0=,那么f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaax20在[a,x0]和[x0,b]上对f分别应用推广3和推广2知,存在1(a,x0)和2(x0,b),使得x0b-af(x)dx=f(1)(x0-a)=f(1),1(a,x0),a2bb-af(x)dx=f(2)(b-x0)=f(2),2(x0,b),x20bf(1)+f(2)所以,f(x)dx=(b-a)又因为f在[1,2]上连续,所以由介值定理知,必存在a2f(1)+f(2)[1,2](a,b),使得f()=2b所以,f(x)dx=f()(b-a),(a,b)a推广5若f在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则至少存在一点(a,b),使得bbf(x)g(x)dx=f()g(x)dxaa(当g(x)1时,即为前面的积分第一中值定理)证明:因f(x)在[a,b]上连续,故f(x)在[a,b]上取到最大值M与最小值m又由于g(x)在[a,b]上可积且不变号,不妨设g(x)0,这时有mg(x)f(x)g(x)Mg(x),x[a,b]由定积bbb分的不等式性质,得到mg(x)dxf(x)