第三讲分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、或同一种运算、或同一个定理、或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”．1．分类讨论时必须遵循的原则(1)施行分类的集合的全集必须是确定的；(2)分类的标准必须是统一的；(3)分类必须是完整的，不能出现遗漏；(4)各子集域必须是互斥的，不出现重复；(5)如需多级分类，必须逐级进行，不得越级．2．分类讨论的步骤(1)明确讨论的对象，确定对象的全体；(2)确定分类的标准，正确进行分类；(3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；(4)归纳小结，总结出结论．3．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．4．简化和避免分类讨论的策略：(1)直接回避，如运用反证法、消参法等；(2)变更主元，如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数的形式；(3)合理运算，如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等；(4)数形结合，利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点．拓展提升——开阔思路提炼方法有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．拓展提升——开阔思路提炼方法分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．点击此处进入专题强化训练