第18卷第2期工科数学VloJ18．№．22002年4月JOURNALOFMATHEMATICSF0RTECHNOLOGYApr．2002Jordan标准形定理的初等变换证明牛兴文(北京化工大学理学院．北京100029)[摘要]本文对Jordan标准形定理给出了一种使用初等变换的证明．直观意义明显、易于理解，可用于线性代数教学．[关键词]矩阵~Jordan标准形{初等变换：中图分类号]O151[文献标识码]C[文章编号]1007．4120(200~)020085．061引言Jordan标准形定理无疑是线性代数理论中最重要的定理．它的证明按所使用的工具可分为两类：使用一矩阵的代数证法和使用不变子空间直和分解的几何证法．前者把矩阵的相似关系归结为矩阵的相抵关系处理，缺乏直观且不能给出变换矩阵．后者使用了较多的几何概念和方法，几何意义明显，但篇幅较大．本文给出一种基于初等变换的新的证法，直观、易于理僻且篇幅较小．具体地讲，即对复方阵A，做初等列变换，得A尸，P为相应的初等矩阵，再做与左乘P相应的初等行变换，得到A=P7A，与A相似，逐次找出，⋯，．使AAP，k=l，2，⋯，，晟终使B=A为Jordan形矩阵．2几个引理我们仅使用下边几个熟知的结论作为预备知识．i)对方阵A做初等行变换，相当于左乘相应的初等矩阵；做初等列变换，相当于右乘相应的初等矩阵ii)P(i．)一一，(．)，P((c))一尸((f))，P(i，())一一P(，(一))【1)若A～口．，i一1，2，⋯，k，则引理l设A是任一阶复方阵，，，⋯，是A的全部特征值，则对任一级排列如⋯i，存在级可逆复方阵，使得i)T。AT=B为上三角矩阵；ii)^，⋯，^依次为的全部主对角元．证对A的级数做归纳．对一级矩阵结论显然成立．假定对一1级矩阵结论成立，则对级矩阵，由．是A的特征值，存在[收藕日期]2001．05—29[基盒项目]岳阳兴长出版基金资助86I科数学第rl8卷相应的特征向量≠0，将f1扩充为0的一个基．记为，妄，⋯，￡，令T-(，，⋯，￡)，则为级可f、逆复方阵，使得TAT一l=A，即有A～A．．二者有相同的特征值，从而口的全部特征值为，oB】J一⋯⋯，．-一由归纳假设，存在一l级可逆阵S，使‘BS一B为上三角阵-且^|^，．依次为口z的全部对角元·令r，一T【．-则，可逆，且S1T盯一I一日10BJ为上三角阵，，^，⋯，依次为B的全部对角元．A】lA】2···AI]引理设一IA。2⋯l为分块上三角矩阵，且i)A为主对角元相同且等于^，的上三角矩阵；|i)当J时，≠，则A相似于分块对角矩阵证对做归纳．当一l时，结论显然成立．假定已有：【AJi则：A：⋯A22A～A一●●●A下证AA22Al～A设A是级矩阵，对做归纳．设A为×m矩阵(础当一l时先消去6+，并保持6(>1)不变．APl，(n+1)兰i¨的第(1．一1)元为++峨⋯㈠jI鑫峨．jAP憾的第(1，．+1)元为％南％％一一o．第2期牛*文：Jordan标准形定理的初等变换证明87仿上．可依次消去A的第(1，)元．k=n一1．⋯，，即有结论成立假定当A．为n一1级矩阵时结论成立，则有Al～仿上述一一l时的证明．可消去诸础，从而当A．．为级矩阵时结论也成立，即有A22A～lO10引理3形如的矩阵相似于Jordan形矩阵，这里‘，。为函特；征值是00的(上)0；00‘，OJordan块，一1．2，⋯．k．证对块数k做归纳当一l时，形如依次做第J列乘以一q加到第列，第行乘以加到第J行，，一2，⋯，一1，得到相似的矩阵OlO若‰一0，则结论成立．若≠0，依次做第，列乘以+，第，行乘以，j=l，2，⋯．一1，得到相似矩阵O1O10l0即当—l时总有结论成立．假定块数小于k时结论成立，对块数为k的情形论证88I科数学第18卷仿一l，可证J】J】●●●●●●00或●^●：^：，一0010O对前者，即*；*一0JL●●●^．O^●：O一0第列与^各列做相邻列交换，第一行与^各行做相邻行交换．可化为相似矩阵J】*‘．；J^100●：^0由归纳假设．相似于Jordan形矩阵，从而结论成立JL●●^L对后者，即0^0●：10J．JL●●●●●●