作者：闫浩2011年9月微积分B(1)第十二次习题课题目（第15周）1．考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明：¥x¥nx¥(-1)n(1)ln(1+<),xa；(2),xÎ(-¥,)+¥；(3)．ånnln2å52ån=2n=11+nxn=1n-sinx¥x¥1(4)ln(1),x[1,)（5）2nsin,x(0,)å+2Î+¥ånÎ+¥n=2nnlnn=13x¥x2(6),å2xÎ(-¥,)+¥n=1(1)+xéæ1öù2．设在区间内有连续导数．．求证：f(x)(-¥,+¥)gn(x)=nêfçx+÷-f(x)úëènøû（1）在任意闭区间[a,b]上，{gn(x)}一致收敛于f¢(x)；b（2）limògn(x)dx=f(b)-f(a)．n®¥a¥xn3．设函数S(x)cosnx2．=ånpn=13¥xn（1）证明：当时，2在(-L,L)内一致收敛；0<L<3åncosnxpn=03（2）求limS(x)．x®1¥．设，函数项级数在内一致收敛，证明：4un(x)ÎC[a,b],nÎNåun(x)(a,b)n=1¥¥¥（）均收敛；（）在上一致收敛．1åun(a),åun(b)2åun(x)[a,b]n=1n=1n=1¥15．设函数f(x)=å(x+)n．n=1n¥1（1）确定f(x)的定义域D；（2）证明å(x+)n在D上不一致收敛；n=1n（3）证明f(x)ÎC(D)．¥6．证明：函数S(x)=ånx2e-nx在[0,+¥)上有定义且有界．n=1Page1of2作者：闫浩2011年9月7．若函数列{fxn()}在区间I上一致收敛于fx()，而每一个fxn()在区间I上有界，则函数列{fxn()}在区间I上一致有界．¥e-nx¥e-nx8.求函数项级数的收敛域，并证明：在上连续，在å2fx()=å2[0,)+¥(0,)+¥n=11+nn=11+n内可导。Page2of2