课时九基本不等式与不等式基本证明第一部分：基本不等式变形技巧的应用基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。技巧一：加减常数1(x?1)的值域。例1、求函数y?x?x?1点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。技巧二：巧变常数1例2、已知0?x?，求函数y＝x（1－2x）的最大值。2点评：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x(1?ax)等可有两种变形方法：一是巧乘常22数；二是巧提常数，应用时要注意活用。技巧三、分离常数例3、已知x?552，则f(x)?x?3x?322x?45有（）334422点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值好“常数”，以利于问题的解决。技巧四、活用常数例4、若x,y?R且满足?4x?16y?1，求x＋y的最小值。点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。技巧五、统一形式11??)的最小值。例5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(a?bc1点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数y?x1?x(0?x?1)可变形为y?2x(1?x)等）。22第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧1．轮换对称型例1若a,b,c是互不嗟鹊氖凳?证：a?b?c?ab?bc?ac.222点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技巧。2．利用“1”的代换型111?已知a,b,c?R,且a?b?c?1,求证：???9.abc例2点评：做“1”的代换。.3.逆向运用公式型a,b?R,a?b?1求证：a??12?b?12?2.例3已知点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a?12,b?1将1??1??转换成1??a??,1??b??,然后逆向运22??2??2用均值不等式：若a,b?R则?ab?a?b2.4．挖掘隐含条件证明不等式1??1?1??a,b?R,a?b?1求证：?1???1???.a??b?9?例4已知?a,b?R?,a?b?11??2?ab?说明a,b?R,a?b?1的背后隐含??a?b?4??ab???2?点评:由于?ab?14着一个不等式.5．用均值不等式的变式形式证明不等式例5已知a,b,c?R,求证：a?b?22?b?c?22c?a22?2?a?b?c?.点评：本题的关键在于对a?b,b?c,c?a的处理，如果能找出222222a?b与a?b间的关系，问题就可以22解决，注意到a?b?2ab?2a?b222??2???a?b?2?2a?b2?2??a?b?其中a,b,c?R?即可。解题时要注意a22?b?2ab的2a?b2变式应用。常用2?a?b2(其中a,b?R)来解决有关根式不等式的问题.?34