这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？D探究１：1、正方形ABCD的a?b22bGFECHa?b面积S=＿＿＿＿＿22２、四个直角三角形的Aa2ab面积和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？BS___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？DDa2?b2bGAHFEaaCAE(FGH)bCBB重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有22a?b?2ab当且仅当a=b时，等号成立。思考：你能给出不等式a2?b2≥2ab的证明吗？证明：（作差法）a?b?2ab?(a?b)222当a?b时当a?b时2(a?b)?022(a?b)?0所以(a?b)≥0所以a?b≥2ab.22结论：一般地，对于任意实数a、b，总有a?b≥2ab22当且仅当a=b时，等号成立适用范围：a,b∈R文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.如果a?0,b?0,我们用a,b分别代替a,b,可得到什么结论？如果a?0,b?0,我们用a,b分别代替a,b,可得到什么结论？(a)2?(b)2≥2a?b替换后得到：即：a?b≥2aba?b即：≥ab(a?0,b?0)2你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？a?b证明：要证≥ab2只要证a?b证明不等式：≥ab(a?0,b?0)2分析法①②2a?b≥_______2ab要证①，只要证a?b?_____≥02ab2(a?0,b?0,a?(a),b?(b))要证②，只要证(___?___)≥0ab2③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.基本不等式特别地，若a>0，b>0，则≥a?b_____2aba?b(a?0,b?0)通常我们把上式写作：ab≤2当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.适用范围：a>0,b>0a?b在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，2ab叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.填表比较：a?b≥2ab22a?b≥ab2a>0,b>0适用范围文字叙述“=”成立条件a,b∈R两数的平方和不两个正数的算术平均数不小于它们积的2倍小于它们的几何平均数a=ba=b注意从不同角度认识基本不等式例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最AD短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，若x、y皆为正数，B则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.x?则当xy的值是常数P时，y?x?y≥2100?20,?≥xy2当且仅当x=y时，?2(x?y)≥40yxCx+y有最小值_______.2P当且仅当x=y时，等号成立此时x=y=10.x??xy2100?2P?x?10y≥?xy因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆解?，可得?最短，最短的篱笆是40m.10?x?y?y?例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？AD解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18若x、y皆为正数，ByxC则当x+y的值是常数S时，矩形菜园的面积为xym2当且仅当x=y时，x?y18?xy≤??12得xy≤81922Sxy有最大值_______；4当且仅当x=y时，等号成立即x=y=9x?yS12因此，这个矩形的长、宽都为9m时，xy≤??xy≤S422菜园面积最大，最大面积是81m2已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=P?x+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=S?xy≤1S2(当且仅当x=y时,取“=”号4).利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=x，BC=24－2x，ADxB24?2xC变式：如图，用一段长为24m的篱