教学总结排列,组合问题基本题型及解法排列,同学们在学习排列,组合的过程中,总觉得抽象,解法灵活,不容易掌握.然而排列,组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.相邻问题"捆绑法"一,相邻问题"捆绑法"将必须相邻的元素"捆绑"在一起,当作一个元素进行排列.丙,丁四人并排站成一排,如果甲,乙必须站在一起,不同的排法共有几种?例1甲,乙,3分析:先把甲,乙当作一个人,相当于三个人全排列,有A3=6种,然后再将甲,乙二人全排列有A2=2种,所以共有6×2=12种排法.2不相邻问题"插空法"二,不相邻问题"插空法"该问题可先把无位置要求的元素全排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中(注意两端).例27个同学并排站成一排,其中只有A,B是女同学,如果要求A,B不相邻,且不站在两端,不同的排法有多少种?.分析:先将其余5个同学先全排列,排列故是A5=120.再把A,B插入五个人组成的四个5空位(不包括两端)中,(如图0×0×0×0×0"×"表示空位,0"表示5个同学)有A2=2"4种方法.则共有A5A2=440种排法.54定位问题"优先法"三,定位问题"优先法"指定某些元素必须排(或不排)在某位置,可优先排这个元素,后排其他元素.例36个好友其中只有一个女的,为了照像留念,若女的不站在两端,则不同的排法有种.分析:优先排女的(元素优先).在中间四个位置上选一个,有A1种排法.然后将其余5个4排在余下的5个位置上,有A5种方法.则共A1A5=480种排法.还可以优先排两端(位置优先).545同元问题"隔板法"四,同元问题"隔板法"例410本完全相同的书,分给4个同学,每个同学至少要有一本书,共有多少种分法?分析:在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块"隔板".如图:××××××××××一种插法对应于一种分法,则共有C3=84种分法.9五,先分组后排列对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和.例5由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()(A)210个(B)300个(C)464个(D)600个分析:由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有A5个,5333A1A1A3个,A1A1A3个,A1A1A3个,A1A3个,合计300个,所以选B43333233例6用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?24【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有C3C5A5种,其中0居首位的有C3C1A454552种,故符合条件的五位数共有C3C5A5C3C1A4=11040个.55544【解法2】按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含0的;②含0的.①不含0的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有C3C2A5个;545②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有A1种排法,再选三个奇数数与一4个偶数数字全排放在其他数位上,共有C3C1A4A1种排法.5444综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有C3C2A5+C3C1A4A1=11040个.5455444间接法六,间接法教学总结如果一个问题直接考虑,比较复杂,很难得出结论,可考虑采用"间接法".例7(97年高考题)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有()(A)144种(B)147种(C)150种(D)141种4分析:从10个点中任取四点,总数为C10.其中四点共面的有三种情况:①共面的6个点中任意4点,共有4C4种;②任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种;③相邻两面三角形64中位线的4个端点共面,共有3种.所以适合条件的取法有C10-4C4-6-3=141(种),因此6选D.交叉问题————韦恩图七,交叉问题——韦恩图例8由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3的自然数?【解】设A={满足题设条件,且百位数字是3的自然数},B={满足题设条件,且比20000大的自然数},则原题即求card(B∩UA),画韦恩图如图,阴影部分U即B∩UA,从图中看出card(B∩UA)=card(BA∩B).又A∩BB,由性