http://www.paper.edu.cn广义Bethe树上关于随机选择系统的一类极限定理1陈鹏飞2，魏杰1，李兵21南开大学信息技术科学学院,（300071）2军事交通学院基础部,（300161）1E-mail（jiewei@eyou.com）摘要：本文将随机选择系统的概念在广义Bethe树上进行了推广,同时研究了广义Bethe树上选择子序列的状态序偶出现频率的一类极限定理,它是Bernoulli序列无规则性概念的进一步推广。关键词：随机选择系统,广义Bethe树,极限定理。1.引言近随机选择系统(有时称为赌博系统函数)的概念源于赌博(参见[1])。考虑一个普通的掷硬币的赌博，其中赌徒按照某种依赖于以前的投掷结果的规则选定赌金。逐次的赌金不再是独立的随机变量了，但赌博仍然是绝对公平的，公平的思想是，过去的知识不能使赌徒改善他的运气，即其成功的概率不变。自VonMises以来，不少作者对这一问题进行了研究(参见[2]---[4])。本文的目的是将随机选择系统的概念推广到广义Bethe树上，研究广义Bethe树上选择子序列的状态序偶出现频率的一类极限定理。首先简单介绍一下与本文相关的树的概念和记号。设T是一个无限树,x≠y是T中任两个顶点，则存在唯一的从x到y的路径，其中互不相同，且与为相邻两顶点，称为x=z1,z2,L,zm=yz1,z2,L,zmzizi+1m−1x到y的距离。为给T中的顶点编号，我们选定一个顶点作为根顶点（简称根）,并记之为O。如果一个顶点与根顶点的距离为n,则称此顶点为第n层上的顶点。为统一起见，根顶点也称为位于第0层上的顶点。定义1设T是一个具有根顶点O的无限树，Nn,n≥1是一列正整数。如果第n层n≥0上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，则称T为广义Bethe树或广义Cayley树。设N是正整数。如果N1=N+1且对所有的n≥2,Nn=N，则称T为Bethe树，记为TB,N(TB,2如图1所示)；如果对所有的n≥1,Nn=N则称T是Cayley树，记为TC,N。以下T恒表示广义Bethe树或广义Cayley树，T(n)表示含有从第0层(根顶点)到第n层-1-http://www.paper.edu.cn的所有顶点的子图。设|B|表示T的子图B的顶点数，并令N0=1，则n(n)（1）|T|=∑N0LNnk=0用表示第层上的第个顶点,为统一起见,也记根顶点O(n,j)(1≤j≤N1LNn,n≥1)nj为(0,1)。T设b是正整数,S={1,2,L,b},Ω=S,ω=ω(⋅)∈Ω，其中ω(⋅)是定义在T上在S中取值的函数,h是ω的所有有限维柱子集产生的最小σ代数,µ是可测空间(Ω,h)上的概率测度。是定义在上的坐标随机过程,即对任何，X={Xt,t∈T}(Ω,h)ω=ω(⋅)∈Ω定义Xt(ω)=ω(t),t∈T（2）记若是的有限连通子集，定义上的一个简单序满足如下性质，记为BTBB={x1,L,xk}：对每一个有唯一的一个是其相邻顶点，记为(*)xj(j>1),xj∈Bxi∈{x1,L,xj−1}，考虑的序(此序满足i=i(j)B=T{(0,1),(1,1),L,(1,N1),L,(n,1),L(n,N1LNn),L}性质(*))。与该序相对应的，状态空间为S的随机变量{Xt,t∈T}的序为下面我们直接利用柱集的分布给出树$T$上的马氏链场的一种定义,它是马氏链场古典定义-2-http://www.paper.edu.cn的自然推广。定义2设P=(p(i,j))是S上严格为正的随机矩阵,q=(q(1),L,q(b)),是S上的严格为正的分布,是上的概率测度。如果µP(Ω,h)（3）（4）则称µP为随机矩阵P=(p(i,j))及分布q决定的树T上的马氏链场。注1由(3)与(4)定义的µP也依赖于q，在Spitzer及Berger与叶中行给出的定义中q被取为由P=(p(i,j))决定的平稳分布π=(π(1),L,π(b))故此处的定义稍有推广。注2设对所有的n≥0,Nn=1，并记(n,1)为n则由(3)与(4)有,（5）这就是马氏链柱集的分布。定义3给定定义在ST上且在{0,1}中取值的函数列，f0,1=1,fm,t=f(X0,1,L,Xm,t−1)(m=1,2,L,t=2,3,L,N1LNm)fm+1,1=f(X0,1,L,Xm,t−1)(m=0,1,L,t=N1LNm+1)称为树上的随机选择系统。fi,j{i=0,1,Ln,j=1,2,L,N1LNi}T根据的值来选