直线和圆的位置关系上课!老师好！同学们好！请坐。数学来源于生活，服务于生活。现实中的很多问题都可以用数学知识来解决。今天，我们就来看一个实际问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？看到这个图，大家考虑一下，这是平面几何中的什么问题？显然是直线和圆的位置关系问题回忆一下初中平面几何的知识，在平面内，直线和圆的位置关系有哪些？观察这三种位置关系的不同之处，怎样定义直线和圆的位置关系呢？又是怎样判断的呢？★直线和圆相交，有两个公共点；直线和圆相切，有且只有一个公共点；3.直线和圆相离，没有公共点。通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系。相交时，；相切时，；相离时，。（板书表格）回到刚才的实际问题，显然轮船是否有触礁危险，关键就是要判断直线和圆的位置关系，那我们该如何判断呢？可以连接两点，发现直线与圆没有公共点，则相离。但是单用图形来说明，还不够严密。我们能用严格的计算来说明吗？学生回答：过点作的垂线，长度为。已知，，由勾股定理可得。再用面积相等列出等式，求得的值，并与比较大小。很好，这个方法叫做“等面积法”。前面我们学过了直线和圆的方程，那么能通过方程来判断直线和圆的位置关系吗？这就是我们今天要研究的重点——利用方程判断直线和圆的位置关系，先来看一个例子。例1：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。怎样用初中的知识和方程的知识结合起来解决这个问题呢？请同学们讨论讨论，演算一下，请一位同学分析一下解题思路。例1：学生回答：可以将直线和圆的方程联立成方程组，消元得到关于的一元二次方程，利用判别式判断方程有两个解，也就是方程组有两组解，就可以判断直线和圆有两个公共点，得出位置关系是相交。回答得很好！过程非常完整！还有其他方法吗？（有）我们可以将刚才的方法叫做方法一，再请一位同学说一说第二种思路。学生回答：方法二：可以把圆的方程化成标准式得到圆心坐标为，半径为，再利用点到直线的距离公式，就可以求出，，就可以判断直线和圆的位置关系是相交。刚才我看到有同学没有比较出和的大小，你能告诉大家是怎么比较的吗？学生回答：把化成，所以。这个方法非常好，把两边都放到根号下，比较根号下数的大小，我们也可以用估算的方法来解决。上面的方法一和方法二虽然做法不同，但是本质都是利用方程来判断它们的位置关系，都是通过代数方法解决几何问题。这就是数学中常说的“以数辅形”。下面请一位同学来帮大家总结一下，两种方法中各有哪些关键点？（完成黑板上的表格）学生回答：方法一先联立方程组，消元，利用判别式判断方程解的个数，得到直线和圆的位置关系。方法二先求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出，与半径比较大小，判断直线和圆的位置关系。总结的不错，进一步，要求出交点坐标，用方法二可以解决吗？只能用方法一，需要求出方程组的解。由，解得，把代入直线方程，得；把代入直线方程，得；所以，它们的交点坐标分别是。至此，我们初步探索形成了判断直线和圆位置关系的两种方法，方法一：联立，消元，利用判别式判断解的个数，得出位置关系。方法二：求出和，比较两者的大小，并作出判断。掌握了方法，我们再回到刚才的实际问题，你现在能用方程的方法解决这个问题吗？用到方程、坐标，就需要建立直角坐标系，大家观察此图，怎样建立坐标系比较好呢？我们以小岛中心为原点，所在的直线为轴，那么所在的直线就是轴，同时根据题中数据的特点，选取为单位长度。请同学们解决这个问题。请一位同学上来把自己的解答过程展示给大家。学生回答：直线方程为，圆的方程为，圆心到直线的距离，所以，直线和圆相离，轮船没有触礁危险。这位同学非常高效地解决了问题！还有其它解法吗？有同学用解方程组的方法吗？（没有）这种方法我自己算了一下，请大家看一看过程，联立直线和圆的方程，将直线方程变形为，代入圆的方程，整理得，估算出是小于0的，说明直线和圆没有公共点，轮船没有触礁危险。大家也能感到这种方法计算比较困难。一般情况下，只判断直线和圆的位置关系，常选用比较和大小的方法，它的运算相对简单。那什么时候用另一种方法呢？就是在求交点坐标时，必须通过求解方程组才能解决。请同学们快速地解决下面的练习，巩固刚才的方法。请两位同学说一说自己的解答过程及答案。学生回答：1.将圆的方程化成标准式，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线和圆相切。学生回答：2.要求交点坐标，我选用联立方程组的方法，消去得到，解出方程，代回直线方程得到交点坐标为。通过刚才的练习，我们感受到选择适当的方法能够达到事半功倍的效果。同学们，学