第20卷第1期长沙电力学院学报(自然科学版)Vol.20No.12005年2月JOURNALOFCHANGSHAUNIVERSITYOFELECTRICPOWER(NATURALSCIENCE)Feb.2005股票价格服从几何布朗运动的证明谢惠扬1,陈怀军2,毕秋香2(1.北京林业大学基础学院,北京100083;2.安徽师范大学数学系;安徽芜湖241000)摘要:通过由一般的离散过程逼近连续随机过程的方法,给予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一个严格的证明,并指出了股票价格过程的一般模型.关键词:股票价格;布朗运动;Ito方程中图分类号:O211.62文献标识码:A文章编号:100627140(2005)0120086203AProofofGeometricBrownMotionDisplayedbyStockPricesXIEHui2yang1,CHENHuai2jun2,BIQiu2xiang3(1.BeijingForestryUniversity,Beijing100083,China;2.MathematicDepartmentofAnhuiNormalUniversity,Wuhu241000,China)Abstract:Inthispaper,theauthorsgiveastrictproofofgeometricBrownmotiondisplayedbystockpricesusingthemethodsofapproximationfromdiscreteprocesstocontinuousstochasticprocess.Thegeneralmodelforstockpricesisalsoexpressed.Keywords:stockprices;Brownmotion;Itoequation在现代金融投资理论中,通常假设股票的价格几何布朗运动变化,而只是根据一种直观判断,认为服从几何布朗运动,著名的Black2Scholes期权定价该模型较好地描述了风险资产的价格变化规律.公式,也是以此假设为基础,即假设股票在t时刻的现假设理性投资者要求来自证券的期望收益率[1]价格St满足下列随机微分方程与证券价格无关,且交易连续不断地进行,在这些理dSt=μStdt+σStdwt,(1)想市场前提下,本文对这一问题进行微观的研究,给其中μ为该股票的预期收益率σ,为股票收益率的予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一个标准差,wt是标准布朗运动.在一般文献中,没有更多解释证券价格为何按严格的证明.收稿日期:2004211201作者简介:谢惠扬(19632),女,江苏无锡人,北京林业大学教授,硕士研究生,主要从事基础数学的研究.第20卷第1期谢惠扬等:股票价格服从几何布朗运动的证明78其中ε为取值±1的随机变量,且1布朗运动(Brownmotion)可由随机1P(Δw=Δt)=P(Δw=-Δt)=.游动逼近tt2布朗运动是上的随机过程≥[0,T](wt,t0),2股票价格过程它有如下特征:1)简单离散模型.①w0=0,对于风险证券股票,假设理性投资者要求来自②Ewt=0,对任意t≥0,证券的期望收益率μ与证券价格无关,在弱式有效③wt有独立增量,即当0≤r<s<t≤T时,市场假设下,首先考虑离散化的模型,设在n时刻,wt-ws与ws-wr独立,且wt-ws～N(0,t-s).其价格为S,则其收益率可认为由期望收益率加一布朗运动是一连续随机过程,它可看成一粒子n随机项组成,不失一般性,且该随机项可以用简单随在直线上运动,在时刻t的位置记为wt,而随机游动机游动表达,即可以写成是一离散分布,下面证明布朗运动可由随机游动逼近从任意时间出发对充分小的间隔Δ记Sn-Sn-1.t,t,=μ+ηn,1≤n≤N,(4)Sn-1Δwt=wt+Δt-wt,Δwt仍是随机变量,根据已知条其中S0>0,μ>0,ηn是一随机游动,满足条件件③,则有Δwt～N(0,Δt),即可近似地记为Δwt～P(η0=δ)=p,P(ηn=-δ)=1-p,εΔt,其中ε～N(0,1),在相当多的文献中都有1≤n≤N,0<δ<1+μ,0<p<1,这样的记法[2].N这样S1取2个值,SN取2个值.因Δwt是对称随机变量,可考虑如下形式的简2)由离散时间模型逼近连续时间模型.单随机游动,即考虑一粒子分别向左或向右移动一现考虑时间区间(0,T),对充分短的时间Δt,取个距离Δx,即:N=[T/Δt],股票价格可写为1P(Δwt=Δx)=P(Δwt=-Δx)=,2SiΔt-S(