高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心（二）班级姓名一、知识要点：1.垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.2．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的。证明：的九点圆与的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为。3．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：二、例题精析：例1.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)例2.如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．例3.锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.例4.H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)三、精选习题：1.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)2.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)3.△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)4.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA。试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAD+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)四、拓展提高：5.如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心（二）例1.分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例2.【证明】（1）∵A，C，D，F四点共圆，∴∠BDF=∠BAC．又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC，∴OB⊥DF．同理OC⊥DE．………………………10分（2）∵CF⊥MA，∴MC2-MH2=AC2-AH2．……①∵BE⊥NA，∴NB2-NH2=AB2-AH2．……②∵DA⊥BC，∴BD2-CD2=BA2-AC2．……③∵OB⊥DF，∴BN2-BD2=ON2-OD2．……④∵OC⊥DE，∴CM2-CD2=OM2-OD2．……⑤………………………………………………30分①-②+③+④-⑤，得NH2-MH2=ON2-OM2．MO2-MH2=NO2-NH2．所以