2011年广东数学竞赛试题1.A解：3a3+12a2-6a-12=3a3+3a2+9a2-6a+1-13=3a2（a+1）+（3a-1）2-13原式=37-13=24．2.B解：由定义，知（a，b）△（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），则ax+by=a，①ay+bx=b，②由①+②，得（a+b）x+（a+b）y=a+b，∵a，b是任意实数，∴x+y=1，③由①-②，得（a-b）x-（a-b）y=a-b，∴x-y=1，④由③④解得，x=1，y=0，∴（x，y）为（1，0）；3.C解：由题设可知y=xy-1，∴x=yx3y=x4y-1，∴4y-1=1．故y=2/1从而x=4．于是x+y=9/24.C解：如图，连接DE，设S△DEF=S′1，则S’?/S?=EF/BF=S?/S?从而有S1′S3=S2S4．因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．5.AS=1+1/2?+1/3?+1/4?+……+1/2011?<1+(1/2?+1/3?)+(1/4?+…+1/7?)+(1/8?+…+1/15?)+……<1+(1/2?+1/3?)+[4*(1/4?)+8*(1/8?)+……]=1+1/8+1/27+[1/16+1/64+1/256……]=1+1/8+1/27+(1/16)/(1-1/4)=1+1/8+1/27+1/124S=4+1/2+4/27+1/3<4+(1/2+1/6+1/3)=5S>1,4S>4所以4<4S<54S的整数部分为4.6.(3,4)解：（X-2）（X^2-4X+M）＝0x1=2x2=2+√(4-M)x3＝2-√(4-M)M<=4三角形特征任意两边和大于第三边即x1+x2>x3①解①M<=4解②3<M<=4解③M<=47.1/98.6解：设A（a，a）则C（a，1/a），又设B（b，b）则D（b，1/b），所以AC=a-1/a，BD=b-1/b因为BD=2AC，所以b-1/b=2(a-1/a)即(b-1/b)?=4(a-1/a)?b?+1/b?-2=4(a?+1/a?-2）即4(a?+1/a?+1/b?)-(b?)=6所以4OC?-OD?=4(a?+1/a?）-(b?+1/b?)=6.9.3/2由1-x≥0，且x-1/2≥0，得1/2≤x≤1由于1/2＜3/4＜1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1．当x=3/4时，y2取到最大值1，故a=1当x=1/2或1时，y2取到最小值1/2，故b=√2/2所以：a+b=3/222x1+x3>x2②x2+x3>x1③10.84如图，设BC=a，AC=b，222则a+b=35=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以FE/CB=AF/AC即12/a=（b-12）/b故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）=a+b+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解-25舍去），所以a+b+c=49+35=84．11.29设方程x2+ax+b=0的两个根是x1,x2x1+x2=-a，x1x2=b方程x2+cx+a=0的两个根是x1+1,x2+1x1+1+x2+1=-c，x1x2+x1+x2+1=a-a+2=-c，b-a+1=aa-c=2，b-2a=-1222二次方程x2+cx+a=0的两个根为整数所以△=c?是个正数的平方-4a△=c?-4a=(a-4)?-12满足条件的只有(a-4)?-12=4时成立这时a=0或者a=8当a=0时,b=-1,c=-2这时x2+cx+a=0的两个整数根为2和0x2+ax+b=0的两个整数根为1和1不合题意当a=8时,b=15,c=11这时x2+cx+a=0的两个整数根为-2和-4x2+ax+b=0的两个整数根为-3和-5符合题意a+b+c=8+15+6=29所以a+b+c的值2912.证明：延长AP交⊙O2于E点，连接BE、CE,证明AH‖=CE。延长BH交AC于点F,易证△BCE相似于△BFA，△AHF∽△BCF，所以CE/AF=BC/BF=AH/AF,所以CE=AH。延长AP交⊙O2于E点，连接BE、CE，延长BH交AC于点F。延长CH交AB于G因为B,H,C,E四点共圆，∠BHC与∠BEC是O2内接四边形的内对角，所以∠BHC+∠BEC=180°，在四边形AGHF中，因为∠AGH=∠AFH=90°，所以∠BAC+∠GHF=180°，所以∠BAC+∠BHC=180°，所以∠BAC=∠BEC又有两个直角，所以△ABF∽△BCE，证得△AHF∽△BCF所以CE/AF=BC/BF=AH/AF所以CE=AH则△AHP≌△PEC则HP=PC13.(1)解：设A(0,b)，B(0,-b)则PQ：y