北京科技大学2014—2015学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共15分）1.从一副扑克牌四个花色的52张牌中随机抽取两张牌，则取到的两张恰是不同花色且最大点数为7的概率是。2.设随机变量的概率密度函数是，则。3.若，且，则。4.设随机变量满足，由切比雪夫不等式可以知道。5.设随机变量独立同分布，概率密度函数是。那么随机变量概率分布密度函数．填空题答案：1.2.3.4.5.二．选择题（每小题3分，共15分）1．对随机事件和，下述关系中正确的是。（A）（B）（C）（D）2．一种零件的加工需要先后完成两道工序，第一道工序的废品率是次，第二道工序的废品率是，两道工序相互独立，则该零件加工的成品率是。（A）（B）（C）（D）3.设和分别是两个随机变量的分布函数，令，则下列各组的值中能使得是某个随机变量的分布函数的是。（A）（B）（C）（D）4.设随机变量，则。（A）（B）（C）（D）5.设是来自总体的一个样本，则的无偏估计是。（A）（B）（C）（D）选择题答案：1.B2.C3.B4.D5.A三．（本题8分）有两只编号的口袋，一号口袋中放有2个白球及5个黑球，二号口袋中放有3个白球及4个黑球。任取一只口袋，再从中任取一个球，问：（1）取出的这个球是白球的概率是多少？（2）如果取出的是白球，分析它来自哪只口袋的可能性大？【解】以表示取出号口袋，表示最后取出的是白球（1分）。（1）（2分）。（2）（3分）（1分）所以，60%来自二号口袋，40%来自一号口袋（1分）。四．（本题12分）运动员在一段时期内的运动呈正态分布。一个跳远运动员在一周的运动测试中取得如下成绩（单位：米）6.56.46.86.36.36.66.76.26.7。均值和方差分别记作和。问题：（1）求均值的置信区间，置信度为；（2）是否可以认为这名运动员的平均成绩达到？显著性水平；（3）是否可以认为这名运动员的平均成绩？显著性水平。已知数据：；；；；；；；。解：构造统计量，则（2分）。简单计算得到，。（2分）（1）置信度为，则，置信区间为。（2分）（2）作双边检验，（1分）拒绝域为，（1分）本题，因此不接受零假设，不能认为这名运动员的平均成绩是（1分）。（3）作单边检验，（1分）拒绝域为，（1分）本题，因此拒绝原假设，认为这名运动员的平均成绩。（1分）五．（本题10分）设随机变量。问题：（1）写出的概率密度函数；（2）随机变量的密度函数．解：（1）随机变量的密度函数为，．（2分）（2）设随机变量的分布函数为，则有。（2分）所以，当时，；（1分）当时，因此有随机变量的密度函数为（3分）．六．（本题10分）甲、乙两人投篮，甲、乙的命中率均为。两人依次投篮，甲先投，谁先投中谁获胜。当有一人获胜时，两人投篮的总次数是随机变量，记为。（1）求的分布律；（2）求的数学期望；（3）求两人获胜的概率各是多少；（4）这个比赛可否是公平的？解：（1）随机变量的取值是正整数，（2分）。（2）（2+2分）。（3）甲胜利的概率为（2分），乙胜利的概率为（1分）。（4）由于，所以这个比赛不可能是公平的（1分）。七．（本题12分）设二维随机变量的联合密度函数为，其中为常数。问题：（1）求常数的值；（2）求与的边缘概率密度函数；（3）求条件概率密度函数；（4）与是否相互独立？解：（1）由于（1分），因此，解出（1分）。（2）（1分），（2分）。（3）当时，，（2分）当时，（2分）（4）由于（1分），因此不独立（2分）。八．（本题18分）某个总体的分布密度是，其中是未知参数。为确定参数的取值，从总体中抽取一个容量为6的样本：.问题：（1）求总体的数学期望和方差；（2）求总体参数的矩估计量和矩估计值；（3）求总体参数的极大似然估计量和极大似然估计值；（4）可否利用总体二阶矩估计未知参数的值？如果不可以，请说明理由；如果可以，请给出这个估计量和估计值。解答：（1）由数学期望的定义得到。（1分）由方差的定义得到。（2分）（2）由于样本均值是总体均值的无偏估计（1分），因此令（1分），可以解得参数的矩估计量为（1分），矩估计值为（1分）。（3）构造似然函数（1分），由于（1分），因此（1分），也就是说的极大似然估计量为（1分），的极大似然估计值为（1分）。（4）可以（1分）。由于（1分），令总体二阶矩等于样本二阶矩（1分），那么，从中可以解出的矩估计量为（1分）。由于样本二阶矩（1分），所以矩估计值（1分）。B卷北京科技大学2014—2015学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一．填空题答案：1.2.3.4.5.二．选择题答案：1.B2.D3.B4.C5.AC卷北