正交检验的极差分析与方差分析[例题]某公司计划引进一条生产线、为了选择一条质量优良得生产线以减少日后得维修问题,她们对6种型号得生产线作了初步调查,每种型号调查4条,结果列于表8-1。这些结果表示每个型号得生产线上个月维修得小时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异?表4－1对6种型号生产线维修时数得调查结果研究得指标:维修时间记作Y,控制因素就是生产线得型号,分为6个水平即A,B,C,D,E,F,每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,6)。现在得试验就就是进行调查,每种型号调查4台,相当于每个总体中抽取一个容量为4得样本,得到得数据记作yij(i=1,2,…,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。计算各样本平均数如下:两个总体平均值比较得检验法把样本平均数两两组成对:与,与,…与,与,…,与,共有(15)对。即使每对都进行了比较,并且都以0、95得置信度得出每对均值都相等得结论,但就是由此要得出这6个型号得维修时间得均值都相等。这一结论得置信度仅就是方差分析得基本原理:(1)将数据总得偏差平方与按照产生得原因分解成:(总得偏差平方与)=(由因素水平引起得偏差平方与)+(试验误差平方与)(2)上式右边两个平方与得相对大小可以说明因素得不同水平就是否使得各型号得平均维修时间产生显著性差异,为此需要进行适当得统计假设检验、数学模型与数据结构参数点估计分解定理自由度显著性检验多重分布与区间估计10在单因素试验中,为了考察因素A得k个水平A1,A2,…,Ak对Y得影响(如k种型号对维修时间得影响),设想在固定得条件Ai下作试验、所有可能得试验结果组成一个总体Yi,它就是一个随机变量、可以把它分解为两部分(4-1)其中:纯属Ai作用得结果,称为在Ai条件下Yi得真值(也称为在Ai条件下Yi得理论平均)、就是实验误差(也称为随机误差)。(4-2)其中,与都就是未知参数(i=1,2,…,k)、假定在水平Ai下重复做m次试验,得到观测值表中:(i=1,2,…,k)(4-3)Yij表示在Ai条件下第j次试验得结果,用式子表示就就是(i=1,2,…,kj=1,2,…,m)(4-4)注意:每次试验结果只能得到Yij,而(4-4)式中得与都不能直接观测到。为了便于比较与分析因素A得水平Ai对指标影响得大小,通常把再分解为(i=1,2,…,k)(4-5)其中,称为一般平均(GrandMean),它就是比较作用大小得一个基点;并且称为第i个水平Ai得效应、它表示水平得真值比一般水平差多少。满足约束条件(4-6)可得用最小二乘法求参数得估计量,然后寻求得无偏估计量、须使参数得估计值能使在水平Ai下求得得观测值Yij与真值之间得偏差尽可能小。为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方与原则,也就就是使观测值与真值得偏差平方与达到最小、由(4-4)可知,上述偏差平方与令下列各偏导数为零由解得(4-7)由解得(4-8)并由此得得估计量至此,求得参数得估计量(4-9)按照上述原则求参数估计量得方法称为最小二乘法,称为最小二乘估计量、我们还可以证明分别就是参数得无偏估计量。将与分别用它们得估计量代替,可以得到试验误差得估计量,(4-10)为了由观测值得偏差中分析出各水平得效应,我们研究三种偏差:,与、根据前面参数估计得讨论,它们分别表示,定理(4-11)证明:令则分解定理(8-11)可写成(4-12)上式中,称为总偏差平方与、称为误差平方与(或组内平方与);称为因素A得效应平方与(或组间平方与),ST得自由度fT=km-1SA得自由度fA=k-1SE得自由度fE=k(m-1)容易瞧出,自由度之间也有类似于分解定理得关系(4-13)要判断在因素A得k个水平条件下真值之间就是否有显著性差异,即检验假设H0:,H1:不全相等相当于检验假设H0:(i=1,2,…,k),H1:αi不全为零可以证明当H0为真时,,,(4-16)并且与相互独立、得(4-17)其中与称为均方(MeanSquare)、利用(8-17)式来检验原假设H0就是否成立、对于给定得显著水平,可以从F分布表查出临界值再根据样本观测值算