证明不等式的13种方法咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙.排序方法对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明.例1已知，且，求证：证明：不妨设，则，从而有，于是2．增量方法在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设，试证：.证明：令，，则于是所以.说明：本题可以加强为：设，试证：.3．齐次化法利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式.例3设，求证：证明：不妨设，则，于是（这里转化为齐次了！）而，故有等号在时取得.4．切线方法通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数满足，求证：.证明：在处的切线方程为，下面证明：.（*）采用分析法，只需证明，令，等价于证明，而后者显然成立，故（*）式成立.利用（*）式，得.5．调整方法局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明.例5已知为非负实数，且，求证：证明：设.利用局部调整方法求S的最大值.不妨设，则.固定，即一定时，，在时取得最大值，所以在时取得最大值.所以，将调整到，由于，所以.再固定，，一定时，由，知与差的越大，乘积越小.所以，在的差最大时，取得最大值.由知，的差最大为，此时.所以，原题转化为求的最大值，其中，显然为，当时取等号.综上知，当中两个为，一个为0时，取得最大值.故6．抽屉原理在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果.例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数，使得证明：任给13个实数在内一定存在13个实数使得将区间等分为2个长为的小区间：根据抽屉原理，必存在两个属于同一小区间，不妨设，且于是，有，且，即，令，则有，也就是故在任意13个实数中，一定能找到两个实数，使得7．坐标方法构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式.例7已知，a、b不全为零，求证：证明：所证明的不等式等价于即该不等式的左面表示点P（1，1）到点Q之间的距离，右面表示点P（1，1）直线的距离，显然点Q在直线上，而，故原不等式得证.8．复数方法构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式.例8（数学问题1613，2006，5）设求证：证明：构造复数，利用复数模的不等式，得所以说明：原作者是用换元与反证法来解答此题目的，其实，上述用复数模不等式的证明是比较简明的.用类似的办法，还可以证明2008年第8期《中等数学》数学奥林匹克问题高231题：已知为满足的正数，求证：9．向量方法构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去.例9已知正数满足，求证：证明：一方面，构造向量，，，则另一面,由条件得知，所以所以.10．放缩方法不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处.例10已知数列中，首项，且对任意，均有，求证：证明：先证明右不等式.因为，所以，即.从而故有再证明左不等式.因为，所以，从而所以.从而,故11．函数方法构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式.例11（2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编）求证：证明：对函数求导数，得.令，得（*）因为函数在区间上是递减函数，显然，所以方程（*）有唯一的实数根.当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数.从而，当时，因为，所以，当时，故有例12已知且，求证：数列对任意都满足，或满足证明：构造函数，.则，所以，函数在和上分别是递增函数.注意到当时，，故，即，于是，…，当时，，故，即，于是，…，故数列对任意都满足，或满足12．判别式法在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式.例13对于任意实数均有当且仅当时，不等式里的等号成立.证明：要证原不等式，只要证（*）就行了.于是，构造二次函数.因为所以，对应二次函数的判别式，故不等式（*）成立，得证.13．不等式