华东师大二附中2023学年高二第一学期质量检测2023.12一、填空题（共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12每题5分）1．抛物线x2=y的焦点坐标为______．2．若直线x+2y+1=0是圆(x−a)2+y2=1的一条对称轴，则a=______．3．三个平面最多能将空间分为______部分．()x24．点4,0到双曲线−y2=1的一条渐近线的距离为_________．35．若直线(3−m)x+y+1=0与直线2x−(m−2)y+3=0垂直，则实数m=______．6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，ab=M，则M______l．7．已知F(−5,0),F(5,0)是双曲线C的两个焦点，过F且垂直于x轴的直线交C于A,B1229两点，且AB=，则的方程为__________________．2C8．若直线y=x+b与曲线=x1−y2恰有一个公共点，则实数b的取值范围为______．9．如图，在正方体ABCD−ABCD中，E是BC的中点，则异面直1111线BC和DE所成角的大小为___________．11y2()10．已知F是双曲线C:x2−=1的右焦点，P是C左支上一点，A0,66，当∆APF8周长最小时，该三角形的面积为__________．11．已知M为抛物线C:y2=4x上一点，过抛物线C的焦点F作直线x+(m−1)y=−52m的垂线，垂足为N，则MF+MN的最小值为______．y2x212．已知椭圆C:+=1(a>b>0)直线l过点(b,a)，不过原点O且不平行于坐标轴．la2b2与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M．延长线段OM与C交于点P，若四边形1OAPB为平行四边形，则直线l的斜率为_________．二、选择题（共4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．如图，∆O'A'B'是水平放置的∆OAB的直观图，O'A'=3，O'B'=4，∠A'O'B'=45°，则原∆OAB的面积为（）A．6B．62C．12D．24()14．已知圆x2+y2−6x=0，过点1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．415．方程y=1+2x−x2表示的曲线为（）A．一个圆B．两个半圆C．一个椭圆D．以上结论均不对16．已知正方体ABCD−A'B'C'D'，设直线a⊂平面ABCD，直线b⊂平面DAB'C'，记正方体12条棱所在直线构成的集合为Ω．给出下列四个命题：①Ω中可能有4条直线与a异面；②Ω中可能有5条直线与a异面；③Ω中可能有8条直线与b异面；④Ω中可能有10条直线与b异面；其中，所有正确结论的序号为（）A．①②③B．①④C．①③④D．①②④三、解答题（共5题，满分78分）17．（14分）已知直线l经过点P(−2,1)，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）与直线2x+y=5垂直；（2）与圆O:x2+y2=4相切．218．（14分）如图，在长方体ABCD−ABCD中，E,F分别是BC和CD的中点．11111111（1）证明：E,F,D,B四点共面．（2）证明：BE,DF,CC三线共点．119．（14分）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A,B两个信号源相距10米。O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚8秒（注：信号每秒传播v米）．在t时，测得机器鼠距离点O为4米．v000（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求t时机器鼠所在位置的坐标；0（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险。如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？320．（18分）如图，四边形ABCD是矩形，=AD2,=DC1，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，CE=1，点F为线段BE的中点．（1）求证：CE⊥平面ABE；（2）求证：DE∥平面ACF；（3）求AC和平面ABE所成角的正弦值．4x2y221．（18分）已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线Γ的焦点重合，Γ1a2b2221的中心与Γ的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交Γ于A,B两点，交Γ于C,D两221112点，且CD=AB．5（1）求Γ的离心率：1