2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题(专家B卷)(1)一、单选题1.若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（）A．B．C．D．2.已知，且，则的取值范围是（）（注：选择项中的为自然对数的底数）A．B．C．D．3.设全集，已知集合，，则（）A．B．C．D．4.在数列中，，则的前项和的最大值为（）A．64B．53C．42D．255.已知函数，若且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（）A．B．C．2D．47.已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是A．B．C．D．8.已知复数，则（）A．B．C．D．二、多选题9.已知，则下列命题中成立的是（）．A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则10.已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（）A．的最小值为B．的最小值为C．椭圆的离心率等于D．椭圆的离心率等于11.已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（）A．B．函数的图象关于点对称C．2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题(专家B卷)(1)D．若，则12.如图，在棱长为1的正方体中，P是上的动点，则（）A．直线与是异面直线B．平面C．的最小值是2D．当P与重合时，三棱锥的外接球半径为三、填空题13.已知，对任意，恒有成立，且当时，，则方程在区间上所有根的和为______.14.已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为______．15.已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则___________四、解答题16.设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：①；②.(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.17.已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.18.在矩形中，，（如图1），将沿折起到的位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．(1)证明：；(2)过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD．，，，E是PD的中点．（1）证明：平面PBC；（2）若，求三棱锥的体积．20.已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．(1)求双曲线C的方程．(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．21.在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：(1)求四棱锥的体积；(2)若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．