[编辑本段]定理叙述（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.[编辑本段]定理证明的历史代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。他在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。给出的，但证该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。的(1799年在哥代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出廷根大学的博士论文)，基本思想如下：∈R)，考虑方根：?f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?v(x、y)设f(z)为n次实系数多项式，记z=x+yi(x、y即u(x、y)=0与v(x、y)=0?这里u(x、y)=0与=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点z0=a+bi，从而得出u(a、b)=v(a、b)=0，即f(a+bi)=0，因此z0便是方程f(z)=0的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。给出了另外三高斯后来又个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。[编辑本段]在复变函数论中的证明方法在复变函数论中，有相当优美的传统证明方法。设f(z)是n次多项式。如果f(z)=0没有根，那么g(z)=1/f(z)是复平面上全纯函数。由于f(z)是多项式，所以可证g(z)是有界的。由刘维尔定理，一个复平面上的全纯有界函数必为常数。从而g是常值函数，亦即f是常值函数，矛盾！故得证代数基本定理。此定理也可以用关于留数公式的儒歇定砝粗ぁ?但本质上都是拓扑的。关于多项式根的定理，即一个次数不小于1的复系数多项式f(x)在复数域内有一根。由此推出，一个n次复系数多项式f(x)在复数域内恰有n个根(重根按重数计算)。这个定理最早在荷兰数学家吉拉尔的论著《代数新发现》(1629)中给出，他推测并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。笛卡儿于1637年也提出了这个定理，但其表述形式与现代的不同。马克劳林和欧拉使得定理的表述更为精确，并且给出与现代表述等价的一种形式：任何实系数多项式都能分解为实系数的一次和二次因子之积。达朗贝尔于1746年给出代数基本定理的第一个证明。18世纪到后半叶，欧拉、拉昔拉斯、拉格朗日等人又相继给出一些证明。所有这些证明都预先假设多项式的一些“理想的”根确实存在，然后去证明在这些根中至少有一个是复数。高斯最先在不假定多项式的根实际存在的情况下于1799年给出了第一个实质性的证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明(1814--1815，1816，1848―1850)。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。世纪以前，20代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域上的，因此代数?/b>定理在当时曾起到核心的作用。专题讲座四代数与代数基本定理的历史1.关于代数的故事在十九世纪以前，代数被理解为关于方程的科学。十九世纪，法国数学家伽罗华（EvaristrGalois）开创群论以后，代数不再以方程为中心，而是以各种代数结构为中心。作为中学数学课程的代数，其中心内容就是方程理论。代数的发展是和方程分不开的。代数对于算术来说，是一个巨大的进步，代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量，根据问题的条件列同方程，然后解方程求出未知量，我们举一个例子：一个乘以3，再除以5，等于60，求这个数。算术求法（公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的：既然这个数的3/5是60，那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍，即100。代数解法：设某数为x，则可见代数解法与算术思路不同。各有自己的一套规则，代数解法比较简单明了。古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。据说，1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷，他惊奇地发现，这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题（当然都是用象形文字表示的）