第六节微积分基本定理积分上限函数及其导数牛顿—莱布尼茨公式小结问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度vvt是时间间隔T1T2上t的一个连续函数，且vt0，求物体在这段时间内所经过的路程.T2变速直线运动中路程为T1vtdt另一方面这段路程可表示为sT2sT1vtdtsT2sT1.其中stvt.T2T1一、积分上限函数及其导数设函数fx在区间ab上连续，并且设x为ab上的一点，考察定积分xxafxdxaftdt如果上限x在区间ab上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在ab上定义了一个函数，记xaftdt.x积分上限函数积分上限函数的性质定理１如果fx在ab上连续，则积分上限的函x数xaftdt在ab上具有导数，且它的导dx数是xaftdtfxaxbdxxxy证xxftdtaxxxxxxftdtftdtxaaoaxxxbxxxxxaftdtxftdtaftdtxxyftdtx由积分中值定理得xoaxxxbxfxxxxflimlimfxx0xx0x0xxfx.补充如果ft连续，ax、bx可导，bx则Fxaxftdt的导数Fx为Fxftdtfbxbxfaxaxdbxdxax证Fx0ax0bxftdtftdt0bxax0ftdtFxfbxbxfaxax1cosext2dt例1求lim2.x0x0分析：这是型不定式，应用洛必达法则.0d1t2dcosxt2解dxcosxedtdx1edtcos2xecos2xcosxsinxe1cosxet2cos2xdtsinxe1lim2lim.x0xx02x2e例2设fx在内连续，且fx0.x0tftdt在0内为单调增证明函数Fxx0ftdt加函数.dxdx证dx0tftdtxfxdx0ftdtfxxxxfx0ftdtfx0tftdtFx0xftdt2fx0xtftdtxFxx20ftdt0ftdt0xfx0x00xtftdt0xxtft0Fx0x0.故Fx在0内为单调增加函数.例3设fx在01上连续，且fx1.证明x2x0ftdt1在01上只有一个解.证令Fx2xftdt1x0fx1Fx2fx0Fx在01上为单调增加函数.F01011F110ftdt01ftdt0所以Fx0即原方程在01上只有一个解.定理2（原函数存在定理）如果fx在ab上连续，则积分上限的函x数xaftdt就是fx在ab上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.二、牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）如果Fx是连续函数fx在区间ab上b的一个原函数，则afxdxFbFa.证已知Fx是fx的一个原函数，x又xaftdt也是fx的一个原函数FxxCxab令xaFaaCaaaftdt0FaCFxaftdtCxaxftdtFxFaafxdxFbFa.b令xb牛顿—莱布尼茨公式afxdxFbFaFxbba微积分基本公式表明：一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.b注意当ab时，fxdxFbFa仍成立.a例4求2cosxsinx1dx.20原式2sinxcosxx0解23.22x0x12例5设fx求0fxdx.51x2212y解0fxdx0fxdx1fxdx在12上规定当x1时，fx5原式2xdx5dx6.1201o12x例6求22maxxx2dx.y解由图形可知yx2yxfxmaxxx2x2x022o12xx0x1x21x2原式xdxxdxx2dx021211201.211例7求2dx.x1解当x0时，的一个原函数是lnxx112xdxlnx1ln1ln2ln2.2例8计算曲线ysinx在0上与x轴所围成的平面图形的面积.y解面积Asinxdx0ocosx2.x0三、小结x1.积分上限函数xftdta2.积分上限函数的导数xfxb3.微积分基本公式afxdxFbFa牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题x设fx在ab上连续，则ftdt与abxfudu是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答xbaftdt与xfudu都是x的函数dxdxaftdtfxdbdxxfudufx