第2章——2.1合情推理与演绎推理2.1.3推理案例赏析[知识链接]1.归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.2.类比推理的结论是否一定正确？答从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.3.合情推理与演绎推理有何异同之处？答合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理.演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理.合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程.[预习导引]1.数学活动与探索数学发现活动是一个的过程，是一个不断地、的过程.2.合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有、、的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出，从而为调控探索活动提供.要点一运用归纳推理探求结论规律方法运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.跟踪演练1下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________.解析前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.答案n2要点二运用类比推理探求结论例2例2Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA(如图甲).类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解如图，在三棱锥P－ABC中，作PO⊥平面ABC，连结OB，OC，猜想下列结论：S＝S△OBC·S△ABC.证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC.∵PD⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥PD，PA⊥BC.∵PO⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥AD，PO⊥BC.∴BC⊥平面PAD.∵PD2＝OD·AD，规律方法在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性.一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠.跟踪演练2如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中，＝l，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假.(1)；(2)_____________________.要点三运用演绎推理证明结论的正确性例3在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证数列{an－n}是等比数列；证明由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴数列{an－n}是以a1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn；解由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*).规律方法演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提.跟踪演练3已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1).∴y＝f(x)为R上的单调增函数.1.一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是________.13.设xi>0(i∈N*)，有下列不等式成立，x1＋x2≥2；x1＋x2＋x3≥3，…类比上述结论，对于n个正数x1，x2，…，xn，猜想有下述结论.4.已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则解析令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)f(1)，课堂小结1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的