1.2.1函数及其表示一、映射根据题意填空。（1）（2）（3）（4）映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B是集合A到集合B的映射。如上图：________________是映射。象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且∈A，∈B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象。（6）如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有个。例1：设集合A＝N＋，B＝N＋，对应关系f：x→y＝2x，则（1）集合A中元素2所对应的象是______________。（2）集合B中元素2所对对应的原象是__________。【解析】：（1）4（2）1变式练习：设f：A→B是从集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若f：（x，y）→（x－y，x＋y）（1）求集合A中元素（－1，2）在集合B中对应的元素_______________。（2）求集合B中元素（－1，2）在集合A中对应的元素_______________。【解析】：（1）(－3，1)（2）(，)二、函数（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y＝f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域（集合）。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。例2：xyOxyOxyOxyO下面哪一个图形可以作为函数的图象（）ABCD【解析】：B变式练习：设A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是（）1212A1212B1212C1212D【解析】：D（二）区间的概念：设，是两个实数，而且＜我们规定：（1）满足不等式≤x≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[，]；（2）满足不等式＜x＜的实数x的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式≤x＜或＜x≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。定义符号定义名称符号数轴表示（三）、函数的定义域：自变量x的取值范围。1、简单函数定义域的类型及求法：（1）分式函数中分母不等于零；（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；（3）一次函数、二次函数的定义域为R；（4）y＝(＞0且≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R；（5）y＝tanx的定义域为{x｜x∈R且x≠k＋，k∈Z}；（6）对数函数的定义域是真数大于0；（7）函数f(x)＝的定义域与指数的关系，对于不同的值，定义域不同。（8）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法：（1）若已知函数f(x)的定义域为[，]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式≤g(x)≤求出；（2）若已知函数f[g(x)]的定义域为[，]，则f(x)的定义域为g(x)在[，]上的值域。例3：求下列函数的定义域。（1）f(x)＝（2）f(x)＝（3）f(x)＝＋（4）f(x)＝（6）f(x)＝【解析】：（1）x≥－（2）x≠－（3）x≥－1且x≠3（4）x≥－2或x≤3－（5）－4＜x＜1变式练习1：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。【解析】：变式练习2：函数f(x)＝的定义域为_____________。【解析】：(2k－，2k＋)，k∈Z变式练习3：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。【解析】：A＝(2k，2k＋)，B＝[－4，3]，则A∩B＝例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围。【解析】y＝20－2x，5＜x＜105＜x＜10例5：（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f(x＋2)的定