高等数学期末复习资料第页（共NUMPAGES9页）高等数学（本科少学时类型）函数与极限函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列，证明【证明示例】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴函数的极限○时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数，证明【证明示例】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴○时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数，证明【证明示例】语言1．由化简得，∴2．即对，，当时，始终有不等式成立，∴无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大【题型示例】计算：（或）1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；（∵≤，∴函数在上有界；）2．即函数是时的无穷小；（即函数是时的无穷小；）3．由定理可知（）极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式、商式的极限运算设：则有（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值【求解示例】解：因为，从而可得，所以原式其中为函数的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，【题型示例】求值：【求解示例】极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：∵，∴（特别地，）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：（一般地，，其中）【题型示例】求值：【求解示例】无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．2．（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：【求解示例】函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？【求解示例】1．∵2．由连续函数定义∴闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程至少有一个根介于与之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；2．∵（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（）4．这等式说明方程在开区间内至少有一个根导数与微分导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数，在处可导，求，【求解示例】1．∵，2．由函数可导定义∴【题型示例】求在处的切线与法线方程（或：过图像上点处的切线与法线方程）【求解示例】1．，2．切线方程：法线方程：函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：特别地，当时，有2．函数积的求导法则（定理二）：3．函数商的求导法则（定理三）：反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数的导数【求解示例】由题可得为直接函数，其在定于域上单调、可导，且；∴○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设，求【求解示例】高阶导数○（或）（★）【题型示例】求函数的阶导数【求解示例】，，……隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★）【题型示例】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程【求解示例】由两边对求导即化简得∴∴切线方程：法线方程：○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程，求【求解示例】1.2.变化率问题举例及相关变化率（不作要求）函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）中值定理与导数的应用中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数在上连续，在上可导，试证明：，使得成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；2．又∵即3．∴由罗尔定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当时，【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化简得