年月皖西学院学报,第卷第期矩阵初等变换的应用唐晓静安徽财贸学院信息与计算科学系,安徽纬埠摘要以矩阵的初等变换为主要方法,将《线性代数》一些知识点联系起来。关键词矩阵初等变换应用中图分类号文献标识码文章编号一一一每一个学习《线性代数》的学生都会知道,《线性代数》的内容十分抽象,很少依靠直观形式化程度比较高,要想将整个课程学懂学透,真正地掌握《线性代数》内容的论述、思想和方法,并不是一件容易的事情。在学习《线性代数》的过程中,矩阵的初等变换是一种十分简单的方法,不简单的是将其赋予不同的解释。这需要我们把《线性代数》中的一些知识点的概念与关系理解透彻。只有这样,才能运用矩阵的初等变换娴熟地解决许多问题。对于给定的矩阵对它进行一系列初等变换,它的内涵是十分丰富的。若是某个线性方程组的增广矩阵,可得到该线性方程组的通解若是某个齐次线性方程组的系数矩阵,可求出该方程组的一个基础解系可求出矩阵的秩若是由一些的列行向量组成的矩阵,则可求出这个列行向量组的一个极大线性无关组可判定的行列向量组的线性关系可判定等价的向量组可求出两组基之间的过渡矩阵可求出可逆矩阵的逆矩阵可解矩阵方程可将二次型化成标准形,等等。对矩阵施行一系列初等行变换将其化成行简化阶梯形矩阵产少、一︶‘勺‘一一一例如一一一一⋯可得到如下一些结论······十一一“一一十十二的增广矩阵,一、厂卫、一一一工一由矩阵,可写出化简后线性方程组为为自由未知量、、,、一一工乙内工,,,一。故原方程组的通解为为任意常数椒收稿日期一一作者简介唐晓静,安徽财贸学院信息与计算科学系教师。·········一沈一一一十十的系数矩阵,一,则由矩阵一出化一简后齐次线性方程组为’鱿或为自由未知时厂万,,,,、声卫产月,,、月叮吸刃、⋯人由此可得到齐次线性方程组的一个基础解系爪一华一将矩阵的每一列看成一个列向量,几、了、厂‘月胜、︸月曰丈、司,内八︸︸上一一,刁,一一一民日日日,。,,,则由矩阵,可求矩阵的列向量组,,,的一个极大线性无关组为并且其余的向量可以由极大线性无关组线性表示。即,一,二一可求出矩阵的秩‘了、一一一一‘一一‘一“一“一由矩阵知,二毛事实上,在求矩阵的秩时可用矩阵的初等行变换初等列变换也可以将矩阵化成阶梯形矩阵,不必化成行简化阶梯形矩阵数一数不全为零的行数,就是矩阵的秩可判定矩阵的行列向量组的一线性相关性、、‘月胜,一一洲卫一一︸一一‘一⋯一一“一由矩阵知,的行向量组,,乃线性无关因为即的行秩等于的列向量组,,。,,线性相关因为有个列向量,且的列秩等于。构造新的矩阵,用初等变换解决问题定理若是一个矩阵,对施行一次初等行列变换,就相当于在的左右边乘上一个阴阶同种类型的初等矩阵。若,则存在一些初等矩阵尸,,尸,⋯,尸,,,⋯,,使得尸⋯尸⋯,。矩阵的初等变换与初等矩阵的这种联系,使得矩阵的初等变换的应用更加广泛。我们可利用这个理论,采用构造新的矩阵,用矩阵的初等变化解决一系列实际问题。求可逆矩阵的逆矩阵由于阶矩阵可逆,故一‘也可逆,则一‘尸⋯尸‘,其中已二,二,为初等矩阵,于是、代一尸尸’二尸产,尸⋯尸,,这两个式子说明对矩阵施行一系列初等行变换将化成单位矩阵,就相当对单位矩阵施行同种类型的初等行变换,将单位矩阵化成的逆矩阵一‘。,欠。一二于是我构造一个矩阵三逐翌上鱼笠童丝伟一‘,。们丘可求出的逆矩阵求一‘或一’。一’,一‘一‘这是求两个矩阵的乘积问题一般方法是先求出再计算认,这种方法虽然可行但比较麻烦。有了上述的定理,我们可以给出一种比较简便的方法。由于、阶矩阵可逆,故一’也可逆,则一‘二尸⋯尸‘,其中只二,,一,为初等矩阵二于是有二尸尸’尸“八尸尸’二尸,一或弓’二’二一尸二尸尸“‘,,这两个式子说明对矩阵施行一系列初等行列变换将化成单位矩阵,就相当对矩阵施行同种类,一’型的初等行列变换将矩阵化成的逆矩阵仅了八,。于是我们构造矩阵石乙玉丝鲤笠丘变塑小一’或构造矩阵有了这种方法,我们可以解决以下两个问题。①解矩阵方程欠欠产二当矩阵可逆时,按上述的方法求出一一‘。②求两组基之间的过渡矩阵乙““,了““‘一一“”一“’,一“,“”,“”月“是”向量空“的两组二’‘’设,,,刀一一⋯,⋯⋯。⋯⋯⋯。。⋯赴,少〔基,则有月声⋯风⋯。,故⋯、一’月,月⋯月,,以,,,⋯,,,,召,召,⋯,风,为列向量作一个欠矩阵。。⋯。。夕召⋯召。一二基些些堑塑型复争所以就