求矩阵秩分解的初等变换法及其应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第21卷第2期淮北煤师院学报Vol.21No.22000年6月JournalofHuaibeiCoalIndustryTeachersCollegeJun.2000求矩阵秩分解的初等变换法及其应用江旭光(安徽省直职工大学,摘要:本文给出了秩为rA.关键词:分类号:C文章编号:1000-2227(200002-0071-73众所周知,设A是m×n矩阵,秩A=r,则存在可逆的m×m矩阵P,n×n矩阵Q,使Ir0PAQ=,此式称为矩阵A的秩分解[1].对上式一般的教科书中从未给出P、Q的具0体求法,P、Q的初等变换求法如下:下面利用上述P、Q讨论线性方程组解的问题.设有齐次线性方程组(2AX=0式中,A同(1式.设Q=(a1,a2,…,an,则由(1得,Aar+1=0,…,Aan=0,ar+1,…,an是(2的解向量,又秩A=r,Q可逆,得ar+1,ar+2,…,an是齐线性方程组(2的一个基础解系.现考虑一般线性方程组AX=b收稿日期:2000—03—27,男,浙江宁波人,学士,讲师作者简介:江旭光(1956-(372淮北煤师院学报2000年其中b=(b1,b2,…,bmT,X=(x1,x2,…,xnT,A如上.第2期江旭光求矩阵秩分解的初等变换法及其应用73故该方程组通解为η=η0+k1a3+k2a4(k3,k4为任意实数参考文献:[1]张禾瑞,郝钅丙新.高等代数(第三版[M].北京:高等教育出版社,1983.TheElementaryOperationsMethodofRankDecompsionandItsApplicationJIANGXu2guang(StaffandWorkersUniversitySubordinatetoAuhuiProvince,Hefei230001Abstract:Inthispaper,aelementraryoperationsmethodisgivenforfindingfactormatrixinrankdecompositionofmatrixAwithrankrandappliedtosolvelinearequations.Keywrods:rankdecomposition;elementaryoperations;solvelinearequations矩阵的初等变换与应用09金融2班王启会2021241078一、矩阵概念线性方程组系数的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数为（i,j）元的矩阵可记作或，m×n矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1；.（换行或换列）(2；（数）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成.记作.（1）等价的性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即．即存在有限个初等矩阵,使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵.（行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵）（等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.①或均对应初等方阵:②或均对应初等矩阵:③或均对应初等