立体几何补充讲义课题立体几何中几类典型问题的向量解法教学目标1.让学生掌握高考中关于用向量法求解立体几何的问题。2.让学生掌握重新梳理对向量的认识逻辑。3.向量法解立体几何问题一般出现在高考题第3题，要引起足够的重视重点、难点1.利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离。2.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。3.利用向量知识解决平行与垂直问题。考点及考试要求教学内容知识框架考点一：利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离典型例题例1：设，求点到平面的距离解：设平面的法向量，所以，，所以设到平面的距离为，例2：如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小A(O)BDCxEFNMyz解：建立如图所示空间直角坐标系(2)由得（3）又所以可求得平面与平面的法向量分别为，所以，所以ABCDxyz例3：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。解：，同理又，建立直角坐标系，，,设为平面的法向量，则由，不妨设点评：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。知识概括、方法总结与易错点分析（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离（2）求两点之间距离，可转化求向量的模。（3）求点到直线的距离，可在上取一点，令或的最小值求得参数，以确定的位置，则为点到直线的距离。还可以在上任取一点先求，再转化为，则为点到直线的距离。(4)求两条异面直线之间距离，可设与公垂线段平行的向量，分别是上的任意两点，则之间距离针对性练习ABCDEFGxyzABCDxyz例3：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。考点二：利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。典型例题例4：在棱长为的正方体中，分别是的中点，（1）求直线所成角；（2）求直线与平面所成的角，（3）求平面与平面所成的角解：（1）如图建立坐标系，则，故所成的角为（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，故与平面所成角为由所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，，，所以平面与平面所成的角点评：（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。知识概括、方法总结与易错点分析（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角为。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。针对性练习例３．正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点．（Ⅰ）求证：直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角大小．证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，设则的坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直．（II），由，得即又是面的法向量设面的法向量为，由得,设二面角的大小为则二面角的大小为．巩固练习如图，是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点。（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求二面角的大小