2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章微专题半角模型知识精练1.问题提出：如图①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝10，BD＝4，求CD的长；第1题图①问题探究：如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC，探究AD与BC的数量关系．第1题图②2.如图①，四边形ABCD是菱形，AC为对角线，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，已知∠ADC＝∠EAF＝60°.(1)判断△AEF的形状，并说明理由；(2)如图②，对角线BD分别交AE，AC，AF于点G，O，H，若该菱形的边长为6，DH＝3.①求AH的长；②求△AGH的面积．图①图②第2题图参考答案与解析1.解：问题提出：如解图①，将△ADB，△ADC分别沿AB，AC折叠，得到△AD′B，△AC′C，延长D′B，C′C交于点E.∵∠BAC＝45°，即∠BAD＋∠CAD＝45°，∴∠D′AB＋∠C′AC＝45°，∴∠D′AC′＝90°.∵AD⊥BC，∴∠D′＝∠C′＝∠D′AC′＝90°.∵AD′＝AC′＝AD＝10，∴四边形AD′EC′为正方形．设CD＝x，则CE＝10－x，BE＝10－4＝6.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2＋CE2＝BC2，即62＋(10－x)2＝(4＋x)2，30解得x＝.730∴CD的长为；7第1题解图①问题探究：如解图②，将△ADB，△ADC分别沿AB，AC折叠，得到△AD′B，△AC′C，延长D′B，C′C交于点E.∵∠BAC＝30°，即∠BAD＋∠CAD＝30°，∴∠D′AB＋∠C′AC＝30°，∴∠D′AC′＝60°，∴∠D′EC′＝360°－90°－90°－60°＝120°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD′＝∠ABC，∠ACB＝∠ACC′，∴∠DBE＝∠DCE，∴BE＝CE.∵AB＝AC，AD⊥BC，BE＝CE，∴A，D，E三点共线．AD′23AD在Rt△AD′E中，AD′＝AD，则AE＝＝，cos30°323AD则DE＝AE－AD＝－AD，3在Rt△BDE中，BD＝DE·tan∠BED＝(2－3)AD，则BC＝2BD＝(4－23)AD，∴BC＝(4－23)AD.第1题解图②2.解：(1)△AEF是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠DAC＝∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAF＋∠FAC＝60°，∴AC＝AD.∵∠EAF＝60°，∴∠FAC＋∠CAE＝60°，∴∠DAF＝∠CAE.在△ADF和△ACE中，∠ADF＝∠ACE，AD＝AC，∠DAF＝∠CAE，∴△ADF≌△ACE(ASA)，∴AE＝AF.∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；(2)①∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，1∴∠ADB＝∠ADC＝30°.2∵AD＝6，∴OA＝3，OD＝33，∴OH＝OD－DH＝33－3＝23.在Rt△AOH中，AH＝OA2＋OH2＝21；②如解图，将△AHG沿直线AG折叠，得到△AIG，连接IB，过点I作IJ⊥BD于点J.第2题解图由题意可知，∠HAI＝2∠HAG＝120°，AD＝6，∠ADB＝∠ABD＝30°，∴BD＝2OD＝63.∵∠HAI－∠HAB＝∠DAB－∠HAB，∴∠BAI＝∠DAH.∵AB＝AD,AH＝AI，∴△ADH≌△ABI(SAS)，∴IB＝DH＝3，∠ABI＝∠ADH＝30°，∴∠JBI＝∠ABI＋∠ABD＝60°，33∴BJ＝IB·cos∠JBI＝，IJ＝IB·sin∠JBI＝，2239∴GJ＝DB－DH－HG－BJ＝63－3－HG－＝3－HG.22∵△AIG是由△AHG折叠得到，∴HG＝IG，在Rt△GJI中，由勾股定理，得IG2＝IJ2＋GJ2，∴HG2＝IJ2＋GJ2，393即HG2＝()2＋(－HG)2，2273解得HG＝，3117373∴S＝HG·OA＝××3＝.△AHG2232