第八章直线和圆的方程数学基础模块下册8.3.2圆的一般方程【教学目标】1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．【教学重点】(1)圆的一般方程。(2)待定系数法求圆的方程。【教学难点】(1)圆的一般方程的应用(2)待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。．【教学方法】这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．【教学过程】环节教学内容师生互动引入1.圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？2.回答下列问题（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是；（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？学生回答教师提出的问题．学生口答，教师点评．3.直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？教师类比直线方程提出问题．新课新课新课探究一（1）请将圆心在(a，b)半径为r的圆的标准方程展开；（2）展开后得到的方程有几个未知数？最高次是几次？这个方程是几元几次方程？（3）如果令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，这个方程是什么形式？（4）任意一个圆的方程都可表示为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式吗？探究二（1）请举出几个形式为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程；下述方程表示的是圆吗？x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0，x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，x2＋y2＋2x＋2y＝0．探究三满足怎样的条件时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①表示圆？将方程配方，得(x＋EQEQ\F(D,2))2＋(y＋EQEQ\F(E,2))2＝EQ\F(D2＋E2－4F,4)．②（1）当D2＋E2－4F>0时，方程①表示以(－EQ\F(D,2)，－EQ\F(E,2))为圆心，且半径为EQ\F(1,2)EQ\R(,D2＋E2－4F)的圆；（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－EQ\F(D,2)，－EQ\F(E,2))；（3）当D2＋E2－4F<0时，方程①不表示任何图形．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．练习一求出下列圆的圆心及半径：（1）x2＋y2－6x＝0；（2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0.例1求过点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F待定．由题意得EQ\B\LC\{(\A\AL\COL(F＝0,D＋E＋F＋2＝0,4D＋2E＋F＋20＝0))解得D＝－8，E＝6，F＝0．于是所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0．将这个方程配方，得(x－4)2＋(y＋3)2＝25．所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5．练习二求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．学生解决教师提出的问题，教师点评．师：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中D，E，F是常数吗？为什么？学生回答教师提出的问题．学生思考教师提出的问题．师：将方程配方，你能得到怎样的方程？学生根据教师提示分组解答，配方后方程分别为(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．学生猜想．教师强调配方法的应用，引导学生解答．师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？学生回答，教师点评．师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示一个圆．师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．学生练习，教师巡视时应当引导学生用配方法求解．师：确定一个圆的标准方程需要知