4.1.2圆的一般方程一、三维目标：1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。二、过程与方法：1.通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。2.渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。三、教学重点与难点：1．重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．2.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用四、教学过程：1.课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。2.探索研究：上节课我们共同学习了圆的标准方程，那么请同学们回忆一下圆的标准方程：（提问后教师在黑板右侧写出）（x-a）2+(y-b)2=r2把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．令得……①这个方程是圆的方程．提出问题：反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得……②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？讨论：(1)当时，方程②时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程表示的曲线不一定是圆板书1：定义：只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程3.圆的一般方程形式上的特点：(启发学生归纳)(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.知识应用与解题研究：例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。分析：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的.例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：∴所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.注方法二：或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)板书2：待定系数法：学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：根据提议，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是（x0,y0）由于点B的坐标是（4,3），且点M是线段AB的中点，所以①上运动，所以点A的坐标满足方程,即②把①代入②，得5.课堂练习：第1、2、3题6小结：1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹。7课后作业：习题4.1第2、3、6题设计感想这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊