2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块05-函数的图象与函数的零点五：函数的图象与函数的零点1、函数的图象与变换(1)五点作图函数化简→定义域→讨论性质(奇偶性、单调性)→算零点、最值点→光滑曲线作图.(2)函数图象变换(1)平移变换:自变量“左加右减”:ᵆ=ᵅ(ᵆ).左(右)平移ᵄ个单位,ᵆ=ᵅ(ᵆ±ᵄ)左右平移因变量“上加下减”ᵆ:=ᵅ(ᵆ)上(下)平移ᵄ个单位,ᵆ=ᵅ(ᵆ)±ᵄ上下平移(2)伸缩变换:ᵆ=ᵅ(ᵆ)横坐标变为原来的→ᵱ→倍ᵆ=ᵅ(1ᵆ)ᵱ(3)对称变换:对称谁“,谁不变,对称原点都要变”ᵆ=ᵅ(ᵆ)关于→ᵆ轴对称,ᵆ=−ᵅ(ᵆ) ᵆ=ᵅ(ᵆ)关于→ᵆ轴对称,ᵆ=ᵅ(−ᵆ)ᵆ=ᵅ(ᵆ)关于原点对称→ᵆ=−ᵅ(−ᵆ) ᵆ=ᵅ(ᵆ)关于→ᵆ=ᵄ对称ᵆ=ᵅ(2ᵄ−ᵆ)(4)翻折变换:ᵆ=ᵅ(ᵆ)→ᵆ=|ᵅ(ᵆ)|保留ᵆ轴上方部分,并将下方部分沿ᵆ轴对称翻折到上方对称翻折ᵆ=ᵅ(ᵆ)→ᵆ=ᵅ(|ᵆ|)保留ᵆ轴右边部分,并将右边部分沿ᵆ轴对称翻折到左边(3)一次函数的图象和性质解析式ᵅ(ᵆ)=ᵅᵆ+ᵄ参数ᵅ代表直线的斜率,含义是直线的倾斜程度.ᵅ=tanᵯ=ᵆ−ᵆ1ᵅᵄ代表直线的纵截距,含义是直线与ᵆ轴相交的点的纵−∞坐标.ᵅ>0,ᵄ>0ᵅ>0,ᵄ<0ᵅ<0,ᵄ>0ᵅ<0,ᵄ<0解析式ᵅ(ᵆ)=ᵅᵆ+ᵄ图像增减性单调递增单调递减(4)一次函数的翻折变换以ᵅ(ᵆ)=2ᵆ+1与|ᵅ(ᵆ)|=|2ᵆ+1|、ᵅ(|ᵆ|)=2|ᵆ|+1为例:(1)|ᵅ(ᵆ)|图象是将ᵅ(ᵆ)得到.(2)函数ᵅ(|ᵆ|)图象是将函数ᵅ(ᵆ)得到.(5)反比例函数的图象和性质解析式ᵅ(ᵆ)=ᵅᵆ图像增减性ᵅ>0ᵅ<0(6)反比例函数的平移变换ᵆ=ᵅ(ᵅ>0)图像向右平移ᵄ个单位,向上平移ᵄ个单位可以转化为ᵆ=ᵅ+ᵆᵆ−ᵄᵄ(ᵅ>0)(7)一次分式函数的图象形如ᵅ(ᵆ)=ᵅᵆ+ᵅ
这样的函数称为“一次分式函数”.ᵄᵆ+ᵄᵅ(ᵄᵆ+ᵄ)+ᵅ−ᵅᵄ(1)在函数的分子上配出分母的形式:ᵅ(ᵆ)=ᵄᵄᵄᵆ+ᵄᵅᵄᵅᵅ−(2)列项:ᵅ(ᵆ)=+ᵄ.ᵄᵄᵆ+ᵄ(3)令ᵅ=ᵅ−ᵅᵄ,ᵆ
=ᵅ则函数,ᵅ(ᵆ)=ᵆ
+ᵅ其图像如下,:ᵄᵄᵄᵆ+ᵄ(4)由图可得ᵅ(ᵆ)=ᵅᵆ+ᵅ
的性质:ᵄᵆ+ᵄᵅ(ᵆ)定义域 ᵅ(ᵆ)值域ᵅ(ᵆ)单调性(8)二次函数的翻折变换(按要求画出相关图象)以ᵆ=2ᵆ2+2ᵆ−1与ᵆ=|2ᵆ2+2ᵆ−1|、ᵆ=2|ᵆ|2+2|ᵆ|−1图象间的关系为例:(1)函数ᵆ=|2ᵆ2+2ᵆ−1|的图象是将函数ᵆ=2ᵆ2+2ᵆ−1在ᵆ轴上方的图象保留,再将ᵆ轴下方的图象作关于ᵆ轴对称得到.(2)函数ᵆ=2|ᵆ|2+2|ᵆ|−1对ᵆ取绝对值的图象,是将函数ᵆ=2ᵆ2+2ᵆ−1在ᵆ轴右侧的图象保持不变,ᵆ轴左侧的图象去掉,再将ᵆ轴右侧的图象作关于ᵆ轴对称得到.(9)函数ᵆ=ᵆ+ᵄ(ᵄ>0)的图象与性质（阅读人教A课本必修一P92）ᵆᵄ解析式图像ᵅ(ᵆ)=ᵄᵆ+ᵆᵄ>0,ᵄ≥0ᵄ<0,ᵄ<0ᵄ>0,ᵄ<0ᵄ<0,ᵄ>0ᵄ解析式图像ᵅ(ᵆ)=ᵄᵆ+ᵆ−√ᵄᵄ渐近线ᵆ=ᵆ或ᵆ=−ᵆ定义域{ᵆ/ᵆ≠0}值域单调增区间无单调减区间无ᵆ>0时,ᵅ(ᵆ)=ᵄᵆ+ᵄ≥2√ᵄᵄ;ᵆ<0时,ᵅ(ᵆ)=ᵄᵆ+ᵄ≤−2√ᵄᵄ.不等式ᵆᵆ性质均值不等式可以应用在对勾函数中,用来求解最值,但是在使用时要注意到均值不等式的应用条件:“一正、二定、三相等”2、函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于一般函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)我们把使,ᵅ(ᵆ)=0的实数ᵆ叫做函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的零点.(2)零点的意义函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的零点就是方程ᵅ(ᵆ)=0的实数解,也就是函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的图象与ᵆ轴公共点的横坐标