2024模块四：函数的概念与性质1、函数的概念（1）函数的概念：其中所有输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域；所有输出值y组成的集合叫作函数y=f(x)的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应关系1）函数的定义域：2）函数的值域：（3）同一函数：（1）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同．（2）同一函数的判断：2、函数的表示方法120242）三种方法对比3、分段函数4、复合函数的定义域5、函数的单调性（1）函数单调性的判断（2）自变量大小与函数值的大小关系1）函数f(x)单调递增：xxf(x)f(x)；2）函数f(x)单调递减：xxf(x)f(x)；12121212（3）函数单调性常用结论220244）函数的运算与单调性5）复合函数的单调性：．6、函数的最大值与最小值（1）最大值与最小值的定义（2）总结求函数最大值与最小值的方法320247、函数的奇偶性（1）函数奇偶性定义（2）对函数奇偶性的理解（3）奇、偶函数图象的特征1）函数y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象；2）函数y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象；（4）奇、偶函数图象的单调性（5）常见奇函数（6）常见偶函数420247、函数的周期性8、函数的对称性9、函数对称性与函数周期性相关结论（理解本质，熟记结论，熟练应用！）类型一：对函数对称性的理解（理解并熟记）（1）关于一个函数图象的对称轴与对称中心（你能理解其中的本质意义么？）a+b①函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b−x)函数y=f(x)的图象关于x=对称．2f(a+x)=f(a−x)f(x)=f(2a−x)②f(−x)=f(2a+x)y=f(x)的图象关于x=a对称；13fa−x=fa+x22特别的：y=f(x+a)为偶函数y=f(x)的图象的对称轴x=a．③函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b函数y=f(x)的图象关于点（a，）b对称．a+b④函数y=f(x)满足f(a+x)=−f(b−x)函数y=f(x)的图象关于点（，）0对称．2f(a+x)=−f(a−x)f(x)=−f(2a−x)⑤f(−x)=−f(2a+x)y=f(x)的图象关于(a,0)对称；13fa−x=−fa+x22特别的：y=f(x+a)为奇函数y=f(x)的图象的对称中心(a,0)．(2)几个初等函数的对称：b①二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的对称轴由公式法（或求导数）x=−．2aax+bda②简单分式函数f(x)=(c0,ax+b0)，由变量分离法得对称中心−,．cx+dcc③三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的对称中心为(x,f(x))．00（其中x是f"(x)=0的根；f'(x)是f(x)的导数，f"(x)是f'(x)的导数．)0052024类型二：函数的周期性（1）周期函数的定义和简单性质①对于函数y=f(x)，若存在一个常数T0,使得当x取遍其定义域内的一切直时，都有f(x)=f(x+T),则y=f(x)叫做以T为周期的周期函数．②周期函数的定义域是无界的．③若T(T0)是函数y=f(x)的周期，则nT(nZ,n0)都是y=f(x)的周期．④周期函数y=f(x)的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正值T，则T叫做函数y=f(x)的最小正周期．（不是所有周期函数都有最小正周期，例：f(x)=0）（2）周期函数的常用结论（以下总假定函数f(x)的定义域是无界的）（写出周期，并证明）①若函数y=f(x)恒满足f(a+x)=f(b+x)，则y=f(x)是周期函数，周期T=．②若函数y=f(x)恒满足f(a+x)=−f(x)（a0），则y=f(x)是周期函数，周期T=．③若函数y=f(x)恒满足f(a+x)=−f(b+x)(ab)，则y=f(x)是周期函数，周期T=．1④若函数y=f(x)恒满足f(a+x)=（a0），则y=f(x)是周期函数，周期T=．f(x)1⑤若函数y=f(x)恒满足f(a+x)=−（a0），则y=f(x)是周期函