高斯消去法範例(1)因此(1*)與下列(2*)是等價的由第三個方程式，可知(2*)中含有矛盾式，因此原方程組(1*)無解。範例(2)因此(1*)與是等價的。令z=t，則故方程組之解集合為{(9t+12,–4t–5,t)|tR}。註：上式中的解之表示為參數式，其中t為參數，其實也可以令y為參數或x為參數，但會得出不同形式的解集合，這些不同形式的集合都是一樣。列梯形範例定理(1)矩陣之秩(rank)定理(2)定理(3)我們先舉一個例子來說明定理1也就是如何將一個矩陣化簡成最簡列梯形矩陣：例題：設一矩陣，將M化簡成最簡列梯形矩陣。解：第一步：先觀察M是否為零矩陣(所有的元均為0)若M＝[0]則不必化簡。第二步：若M[0]，則從左邊看過來先找非零行，把這一行其中(任何)一個非零元素a所在的那一個列搬到最上方，例如M中的第二行是從左邊看過來最先出現不全為0的行，其中–2在第二列(取a=–2)可以將第二列搬到第一列(此為列運算I)，因此第三步：把新的矩陣的第一列乘以1/a(即–1/2)使第一列出現第一個領導元1(此為列運算II)，故得第四步：將領導元1下方的數利用列運算III統統化成0，即第五步：不看第一列，重複第一步到第四步，例如出現不為零的那一行為第四行，而其中的2不為零，因此利用列運算將之化為1得再把其下的元(即5)利用列運算III變成0又得第六步：不看第二列，重複第一步到第四步，則得因此M的最簡列梯形矩陣有三個領導元1，故rank(M)=3。若是某個線性方程組之增廣矩陣，則其解將含有n–r=5–3=2個參數。設參數時必須先觀察領導元1所出現的行數，例如上面的最簡式中領導元1所出現的行為第二行、第四行、及第五行，則可將原方程組中的第一個與第三個變數設為參數，雖然不出現領導元1的行為第一行、第三行、及第六行，但第六行是方程組的常數行，所以設參數時只設第一個與第三個變數。現在我們可以來證明定理2：證明:假設rank(M)＝r，也就是M的最簡列梯形矩陣中有r個領導元1，設其所在的行分別為i1,i2,…,ir，又假設1i1i2…irn設{j1,j2,j3,…,jn-r}={1,2,…,n}–{i1,i2,…,ir}且假設1j1j2…jn-rn令xj1=s1;xj2=s2;…;xjn-r=sn-r;代入最後的最簡列梯形中，則得xj1,xj2,…,xjr,故(x1,x2,…,xn)為(*)之解，其中有n–r個參數。接著也可以證明定理3：證明:假設(*)有解若n=r則解集合中無參數，故其解為恰有一個。若nr則解集合中至少有一個參數，所以其解有無限多組。