第二章随机信号分析引言随机信号—信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全被预知随机噪声—不能预测的噪声统称为随机噪声随机过程严格的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。样本函数的总体随机过程一般描述分布函数概率密度函数：分布函数对x的偏导数部分描述——数字特征数学期望定义意义：表示随机过程各个时刻的数学期望随时间的变化情况本质就是随机过程所有样本函数的统计平均函数方差定义意义：表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度数学期望和方差描述了随机过程各个孤立时刻的特征，无法反映随机过程在不同时刻的联系。相关函数定义相关函数用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性。平稳随机过程平稳随机过程（严平稳或狭义平稳）定义：n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化的随机过程。或者：随机过程n维分布函数或概率密度与时间的起点无关，则该随机过程称为平稳随机过程。特点：数学期望和方差与时间t无关，均为常数自相关函数与时间起点无关，只与时间间隔有关广义平稳或宽平稳随机过程定义：数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关的随机过程特点：只涉及一维、二维数字特征与狭义平稳的关系：狭义平稳只要数字特征存在，则必定是广义平稳；但反之，则不一定成立。【注】不特别说明，均指广义平稳随机过程各态历经性各态历经性：随机过程的各个实现，如果都同样经历了随机过程的各种许可状态，该特性称为各态历经性。遍历平稳随机过程：具有各态历经性的平稳随机过程。特点：遍历平稳随机过程的数字特征完全可由该过程的任一实现的数字特征来决定，即可用时间平均值来代替统计平均值。平稳随机过程自相关函数自相关函数为时间间隔的偶函数自相关函数在时间间隔τ=0处有最大值平稳随机过程的功率谱密度信号的时域与频域间的关系为傅里叶变换关系对平稳随机过程而言，其自相关函数和功率谱密度为一对傅里叶变换关系平稳随机过程的功率谱密度的性质：功率谱密度为偶函数随机过程的平均功率等于功率谱密度在频域上的积分功率谱密度为非负函数例2–1：某随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试求：（1）数学期望；（2）自相关函数；（3）功率谱密度；（4）总平均功率。解(1)ξ(t)的数学期望为可见ξ(t)的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔τ有关，所以ξ(t)为广义平稳随机过程。（3）根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R(τ)Pξ(ω)，则因为cosωcτπ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率谱密度为Pξ(ω)=［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］（4）平均功率为高斯过程以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为式中，a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。f(x)特性正态分布的概率密度曲线(3)a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。（4）当a=0，σ=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。当我们需要求高斯随机变量ξ小于或等于任意取值x的概率P(ξ≤x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即噪声高斯噪声噪声的任意n维分布都服从高斯分布白噪声定义：噪声n(t)的功率谱密度在整个频率范围内都是均匀分布的只是理想化的噪声模型（对通信系统中的噪声分析都是以白噪声为基础）一般：只要噪声所具有的频谱宽度远远大于系统的带宽，且在该带宽中其频谱密度基本上可作为常数来考虑，就可把它作为白噪声处理高斯白噪声的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即Pξ(ω)=式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。如果白噪声又是高斯分布的，就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。热噪声和散弹噪声就是近似白噪声的例子。高斯白噪声/白色高