第二章信号2.2确知信号的性质【例2.1】试求周期性方波的频谱。解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V求频谱：频谱图【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为求频谱：信号的傅里叶级数表示式：能量信号的频谱密度设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：S()的逆变换为原信号：【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱密度：Sa(t)及其频谱密度的曲线：函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质当k时，振幅，波形的零点间隔0，故有函数的性质对f(t)的抽样：函数是偶函数：函数是单位阶跃函数的导数：能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱C(jn0)的区别:S(f)－连续谱；C(jn0)－离散谱S(f)的单位：V/Hz；C(jn0)的单位：VS(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。解：设一个余弦波的表示式为f(t)=cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-7)，上式可以改写为引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f)＝|S(f)|2（J/Hz）为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2是偶函数，∴功率谱密度令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2<t<T/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率：2.2.2时域性质自相关函数能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质：R()只和有关，和t无关当=0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率。互相关函数能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质：R12()只和有关，和t无关；证：令x=t+，则2.3随机信号的性质离散随机变量的分布函数：设X的取值为：x1x2…xixn，其取值的概率分别为p1,p2,…,pi,…,pn，则有P(X<x1)=0,P(Xxn)=1∵P(Xxi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi),∴性质：FX(-)=0FX(+)=1若x1<x2，则有:FX(x1)FX(x2)，为单调增函数。连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义分布函数定义FX(x)=P(Xx)可知，FX(x)为一连续单调递增函数：2.3.2随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX(x)pX(x)的定义：pX(x)的意义：pX(x)是FX(x)的导数，是FX(x)曲线的斜率能够从pX(x)求出P(a<Xb)：pX(x)的性质：离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：式中，pi－x=xi的概率u(x)－单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：性质：当xxi时，px(x)=0，当x=xi时，px(x)=2.4常见随机变量举例均匀分布随机变量定义：概率密度式中，a，b为常数概率密度曲线：瑞利(Rayleigh)分布随机变量定义：概率密度为式中，a>0，为常数。概率密度曲线：2.5随机变量的数字特征2.5.2方差定义：式中，方差的改写：证：对于离散随机变量，对于连续随机变量，性质：D(C)=0D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D