§13.4直接证明与间接证明要点梳理1.直接证明(1)综合法①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论,这种证明方法叫综合法.②框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论）.(2)分析法①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法.②框图表示：2.间接证明反证法：假设原命题，经过正确的推理,最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析由分析法的特点可知.2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析∵a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.3.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A.B.C.D.解析4.实数a,b,c满足a+b+c=0，abc>0，则的值()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正、负不能确定解析（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不为零)，∴ab+bc+ac<0,5.用分析法证明：欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②①，所以①是②的必要条件.题型一综合法设a,b,c>0,证明：本题因为有三项分式，不主张用分析法.综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从去分母的角度去运用基本不等式.证明∵a,b,c>0，根据基本不等式，综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.知能迁移1已知x+y+z=1，求证：证明∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz，y2+z2≥2yz，∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=1.题型二分析法（12分）已知函数f(x)=tanx,本题若使用综合法进行推演，三角函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法.证明∴cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,6分故只需证明1+cos(x1+x2)>2cosx1·cosx2,8分即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,即证：cos(x1-x2)<1.10分分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.知能迁移2已知a>0,求证:证明题型三反证法若x,y都是正实数，且x+y>2,求证：中至少有一个成立.本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.证明所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾，(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.知能迁移3已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明.证明方法一假设三式同时大于，∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.题型四分析法与综合法的综合应用若a、b、c是不全相等的正数，求证:用