2013年高考数学必考知识点3不等式及线性规划问题1．(2011·上海)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是()．A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案：D[对于A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对于B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜0，而2eq\r(ab)＞0，eq\f(2,\r(ab))＞0，显然B、C不对；对于D：当ab＞0时，由基本不等式可得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.]2．(2012·辽宁)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()．A．ex≤1＋x＋x2B.eq\f(1,\r(1＋x))≤1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2C．cosx≥1－eq\f(1,2)x2D．ln(1＋x)≥x－eq\f(1,8)x2答案：C[正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A，因为e3＞1＋3＋32，故A不恒成立；同理，当x＝eq\f(1,3)时，eq\f(1,\r(1＋x))＞1－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,4)x2，故B不恒成立；因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,2)x2－1))′＝－sinx＋x≥0(x∈[0，＋∞))，且x＝0时，y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1＝0，所以y＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1≥0恒成立，所以C对；当x＝4时，ln(1＋x)＜x－eq\f(1,8)x2，故D不恒成立．]3．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是()．A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))C．[－1,6]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))答案：A[作出不等式组所表示的区域如图，由z＝3x－y得，y＝3x－z，平移直线y＝3x，由图象可知当直线经过点E(2，0)时，直线y＝3x－z的截距最小，此时z最大为z＝3×2－0＝6，当直线经过C点时，直线y＝3x－z的截距最大，此时z最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y＝－1，,2x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝3，))此时z＝3x－y＝eq\f(3,2)－3＝－eq\f(3,2)，所以z＝3x－y的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)).]4．(2012·安徽)若x，y满足约束条件eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))则x－y的取值范围是________．解析记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.答案[－3,0]本部分内容高考主要考查以下几方面：(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题．(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等．不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.必备知识一元二