PAGE-7-第6节正弦定理和余弦定理[A级根底稳固]1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，那么BC的长为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．2解析：因为S＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝eq\r(3).答案：B2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设eq\f(c,b)<cosA，那么△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0.因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．答案：A3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，那么A＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)解析：因为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).答案：B4．(2022·安庆模拟)假设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin2A＝asinB，且c＝2b，那么eq\f(a,b)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：由bsin2A＝asinB，及正弦定理得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝eq\f(1,2).又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×eq\f(1,2)＝3b2，得eq\f(a,b)＝eq\r(3).答案：D5．(2022·潍坊调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，那么h＝()A.eq\f(\r(15),2)B.eq\f(\r(11),2)C.eq\f(3\r(15),4)D.eq\f(3\r(15),8)解析：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋16－4,2×3×4)＝eq\f(21,24)＝eq\f(7,8)，那么sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(49,64))＝eq\r(\f(15,64))＝eq\f(\r(15),8)，那么h＝ACsinA＝bsinA＝3×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(3\r(15),8).答案：D6．(2022·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.bsinA＋acosB＝0，那么B＝________．解析：根据正弦定理可得sinBsinA＋sinAcosB＝0，即sinA(sinB＋cosB)＝0，显然sinA≠0，所以sinB＋cosB＝0，故B＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．(2022·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，那么△ABC的面积为________．解析：因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC>0，所以sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)>0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝e