PAGE-2-2014年高三数学一轮复习十一正弦定理和余弦定理【考试要求】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【基础梳理】1．正弦定理：2．余弦定理：3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数无解一解两解一解一解无解根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．【双基自测】1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C.eq\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)2．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为()．A．30°B．45°C．60°D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°4．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，则△ABC的面积为()．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D.eq\r(3)5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－eq\r(3)ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．【训练3】在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)；则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考向四正、余弦定理的综合应用【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【训练3】(2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．