[真题试做]1．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝()A.eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)2．(2013·高考浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()3．(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b4．(2013·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．1．函数与方程思想函数思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．如3题解题思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系方程思想方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决．如1题解题思想2.数形结合思想以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想．如4题解题思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合以数辅形(形题数解)借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．如2题的解题思想类型一利用函数与方程思想解决方程、不等式问题(2013·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)．【思路点拨】(1)利用导数解不等式，即可得到单调区间．(2)构造函数通过函数的单调性证明方程只有唯一解．【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,\r(e)).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(e))))eq\f(1,\r(e))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(e))，＋∞))f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(e))))，单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(e))，＋∞)).(2)证明：当0<x≤1时，f(x)≤0.t>0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．【题后感悟】(1)本题第(2)问证明的关键是构造函数h(x)＝f(x)－t，利用第(1)问的结论，判断函数值的符号，从而问题可以证明．(2)解决一些不等式恒成立问题，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．1．已知f(t)＝log2t，t∈[eq\r(2)，8]，对于f(t)值域内的所有的实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．类型二利用函数与方程思想解决数列问题(浙江省各校新高考研究联盟2013届第一次联考)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【思路点拨】(1)由n＝1,2得出两特殊等式，可求得a和q，问题即可解决；(2)由(1)可求出Sn，