第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义习题苏教版选修2-2明目标、知重点1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复数的几何意义任何一个复数z＝a＋bi和复平面内Z(a，b)一一对应，和以原点为起点，以Z(a，b)为终点的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))一一对应．2．复数的模设z＝a＋bi，则|z|＝eq\r(a2＋b2).3．复平面中两点的距离两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．[情境导学]我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一复数与复平面内的点思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．思考2判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0,m2－3m＋2>0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m<2,m>2或m<1))，∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1或m＝－eq\f(5,2)，所以当m＝1或m＝－eq\f(5,2)时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．探究点二复数与向量思考1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．思考2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)可以表示点Z(a，b)到原点的距离．例2已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知：－eq\r(7)<a<eq\r(7).反思与感