第三章导数及其应用第9练导数的概念及运算1[2019全国Ⅱ卷·10,5分,难度★☆☆☆☆]曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=02[2019全国Ⅲ卷·6,5分,难度★★☆☆☆]已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-13[2021新高考Ⅰ卷·7,5分,难度★★☆☆☆]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea4[2020全国Ⅲ卷·15,5分,难度★☆☆☆☆]设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=.5[2018全国Ⅲ卷·14,5分,难度★☆☆☆☆]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.6[2020全国Ⅰ卷·15,5分,难度★☆☆☆☆]曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.7[2019江苏卷·11,5分,难度★★☆☆☆]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.8[2022新高考Ⅱ卷·14,5分,难度★★☆☆☆]曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.9[2022新高考Ⅰ卷·15,5分,难度★★☆☆☆]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.10[2021新高考Ⅱ卷·16,5分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是.11[2022全国甲卷·20,12分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.(2)由f(x)=x3-x,得f'(x)=3x2-1,所以切线斜率k=f'(x1)=3-1,所以切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2.将y=(3-1)x-2代入y=x2+a,得x2-(3-1)x+a+2=0.由切线与曲线y=g(x)相切,得Δ=(3-1)2-4(a+2)=0,整理,得4a=9-8-6+1.令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(3x+1)(x-1),由h'(x)=0,得x=-,0,1,h(x),h'(x)随x的变化如下表所示:由上表知,当x=-时,h(x)取得极小值h(-)=,当x=1时,h(x)取得极小值h(1)=-4,易知当x→-∞时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以函数h(x)的值域为[-4,+∞),所以由4a∈[-4,+∞),得a∈[-1,+∞),故实数a的取值范围为[-1,+∞).第10练利用导数研究函数的单调性、极值、最值1[2017山东卷·10,5分,难度★★☆☆☆]若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx2[2022全国甲卷·6,5分,难度★★☆☆☆]当x=1时,函数f(x)=alnx+取得最大值-2,则f'(2)=A.-1B.-C.D.13[2017全国Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为A.-1B.-2e-3C.5e-3D.14[2021全国乙卷·10,5分,难度★★★☆☆]设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2②若=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递减,无极值点,不满足题意;③若<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意.综上,a>0且b>a满足题意,a<0且b<a也满足题意.据此,可知必有ab>a2成立.故选D.优解(特值排除法)当a=1,b=2时,函数f(x)=(x-1)2·(x-2),画出该函数的图象如图1所示,可知x=1为函数f(x)的极大值