1.1.2瞬时变化率——导数(二)明目标、知重点1.理解导数的定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一函数的导数思考1函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答函数f(x)在点x0附近的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，当Δx→0时，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→A，A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．思考2导数f′(x0)有什么几何意义？答f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.例1利用定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx.∴eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－1，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－1，∴f′(2)＝－1.反思与感悟求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数步骤如下：①求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求导数，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→A，则f′(x0)＝A.跟踪训练1求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→4，∴f′(1)＝4.探究点二导数概念的应用思考1导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？答函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．思考2f′(x0)与f′(x)的区别是什么？答f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．思考3导数有哪些主要应用？答在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等问题．例2已知曲线y＝eq\f(4,x)在点(1,4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于eq\r(17)，求直线l的方程．解∵Δy＝eq\f(4,1＋Δx)－eq\f(4,1)＝－eq\f(4Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(4,1＋Δx).当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于－4.∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.故切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，由题意有eq\f(|c＋8|,\r(17))＝eq\r(17).∴c1＝9，c2＝－25，所以直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.反思与感悟利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点．跟踪训练2已知函数y＝f(x)在点(eq\r(2)，3)处的切线方程为y＝kx－1，则f′(eq\r(2))＝________.答案2eq\r(2)解析由点(eq\r(2)，3)在直线y＝kx－1上得3＝k×eq\r(2)－1