华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间：2012年6月2日(星期六)上午8：30—11：00境内（外）生院别班级准考证号姓名成绩大题一二三四五六七满分3610101215125得分一、填空题(本题共12小题，每小题3分，满分36分，把答案直接填在题中的横线上)x2１、设fx(1)ln2−=，且f[()]lngx=x，则gxdx()=．x2−2∫∂2z２、设zfxyy=(,)，其中f具有二阶连续偏导数，则=．∂x∂yx３、设fxy(,)=++−ln(x21)(y1)arcsin，则fx(,1)=．yx４、函数fx()=−+x23x2在区间[3,4]−上的最大值为M=．GGGGGGGGG５、已知向量r满足：ra⊥，rb⊥，且PrjGr=14，其中a=(2,−3,1)，b=−(1,2,3)，c=(2,1,2)，Gc则r=．６、二重积分∫∫sgn(xy22+−=2)dσ．xy22+≤41７、极限lim1+++2xxx34x=．x→+∞()11−x28、二次积分dxln(1++x22y)dy=．∫∫009、由球面x222++=yz4z及圆锥面x222+=yz所围成、含有z轴的部分立体的体积V=．10、已知函数f()x在区间(1,+∞)内可导，且lim[()fxxfxa+′()]=，则limf(x)=．x→+∞x→+∞11−x11、x2dx=．∫01+xππcosxsinxxcos12、已知dx=A，则2dx=．∫0(2)x+2∫0x+1华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)—以下各题在答题纸上解答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名．．、准．．．．考证号．⎧⎪ln(1+ax3)⎪,0;x<xx−arcsin⎪二、(本题满分10分)设函数fx()==⎨6,x0;⎪exaxax+−−21⎪,0,x>x⎪xsin⎩⎪4问：(1)当a为何值时，f()x在点x=0处连续？（2）当a为何值时，x=0是f()x的可去间断点？⎧10xyz+−=2227222三、(本题满分10分)过直线⎨作曲面327xyz+−=的切平面，求此切平面的方程．⎩xyz+−=0⎧ze=y四、(本题满分12分)设Σ为曲线⎨(1≤y≤2)绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的下侧，利用Gauss⎩x=0公式计算曲面积分I=−+−∫∫42(1)zxdydzzdzdxz2dxdy．Σ五、(本题满分15分)设函数f()t在区间[0,+∞)上连续，Ω()txyzxyztz=++≤≥{(,,)|2222,0}，Σ()t为Ω()t的表面，D()t为Ω()t在xOy面上的投影区域，Lt()为D()t的边界曲线．已知当t∈(0,+∞)时，恒有vw∫f()xyxydsxyzdS22+++++=22∫∫(222)2()∫∫fxyd22++++σ∫∫∫xyzdv222，Lt()ΣΩ()tDt()()t求f()t的表达式．六、(本题满分12分)设非负、具有二阶连续导数的函数yyxx=()(≥0)满足方程xy′′−+=y′20；当曲线y=yx()过原点时，其与直线x=1及y=0所围成平面图形D的面积为2，求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．七、(本题满分5分)设函数f()x在闭区间[0,1]上具有连续导数，且f(0)=0，f(1)=1，证明1|()fxfxdxe−′()|≥−1．∫0华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间：2012年6月2日(星期六)上午8：30—11：00华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)参考答案与评分标准一、填空题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）2x1、x+−+2ln|xC1|；2、f′++xyf′′yf′′；3、；4、20；5、(14,10,2)；6、0；11112x2+1ππ2π+4A7、4；8、(2ln2−1)；9、8π；10、a；11、−；12、−．443422()π+ax32233axax二、(本题满分10分)解：（1）limf(xa)====−limlimlim6【3】xx→→00−−x→0−2x→0−1xx−arcsin11−−x−x22eax+−−x22ax12aeax+−xaaeax+2limfx()====+limlimlim2(a22)【6】xx→→00++111x→0+x→0+xx2422由limf(xfxf)==lim()(0)，即−=62(2)6aa2+=，可得a=−1，xx→→00−+故a=−1时，f()x在点x=0处连续．【8】