§4.5同方向简谐振动的合成G一、同方向、同频率的合成：A(,)ωϕG质点位移为各个位移的矢量和。A(,)2ωϕ2GGGr=r∑→ix=∑xi,,y∑=iy∑zi=zA(,)1ωϕ1光学中，两个振动的和称干涉，ϕ2ϕ而相似的多个振动的和称衍射。ϕ1oxxx1.两个振动的合成：21xA=(scoωt+ϕ22)=At(scoϕω++)At(scoϕω11+)22AAAAA=1+22+12cos(ϕ2−ϕ1)由余弦定理求振幅Asinϕ+Asinϕϕ=arctan1122由三角函数求初相A1cosϕ1+A2cosϕ22011年3月24日大连理工大学秦颖1222.合成振动的特点：AAAAA=1+22+12cos(ϕ2−ϕ1)①二者的相位相同：Δϕk=2π→Amax=1A+2A②二者的相位相反：Δ(ϕk=2+1π)A→min=1A|−2A|22③二者的其它相差：AAAAAmin≤1+22+12cosΔϕ≤Amax若两振幅相同，最大能量达四倍，最小能量可为零。例1一质点同时参与两个在同一条直线上的简谐运动，其表达式如下。求：合振动的表达式。0.04cos(x1=2t/+π6),x2=0.03t−πcos(2/6)0.040=解：.03A+220+.204×0×.03π−cos(π−/6≈/6)0.064×1−3×10.06x=cos(t+20ϕ=.arctan08)0≈.084×3+332011年3月24日大连理工大学秦颖23.多个振动的合成：ϕi+1−ϕi=2αAAR,i=02=sinαRsinNαARNA2(=sinα=)()Δϕ0GΔϕsinαNΔϕANαGGAAππG3ΔϕG=ϕ−(α)(−NN−α)(=1α)−ϕA2A1Δϕ22①邻振动相位相同：Δϕ=2α=0A→=NA0,ϕ=0②邻振动相位相反：Δϕ=2α=π→AAA=,0ϕ=0;=0③诸振动的和为零：Δϕi2=αn=2πN/→α=πn/NsinnπAA=)0((==1,2,;n±±"n≠0,N±,2,)"N±0sinnπN/2011年3月24日大连理工大学秦颖3二、同向、异频的合成：1.两个振动的合成：AAA1=2=0,ϕ1=ϕ2=ϕxA=cos(ωt)+ϕ=A0cos(ω1)+tϕ+0cos(Aω2+ϕ)tωω−ω+ωx=x+2x=Acos(2)1tcos(12t+ϕ)120222ω−ω1<<ω1,ω～前项为2振幅，后项为振动、初相2011年3月24日大连理工大学秦颖41拍Tωω−ω+ωx=x+2x=Acos(2)1tcos(12t+ϕ)120222.振动项的频率：ω+ων+νω=21→ν=21该频率决定音高。+2+23.振幅项的频率：ν−νν≠21→ν=vν−该拍频决定音强。−2−212011年3月24日大连理工大学秦颖5§4.6相互垂直的简谐振动的合成一、垂向、同频的合成：yp(,)xy质点位移为各个位移的矢量和。GA2(,)ωϕ2GGϕr=r∑→ix=∑xi,,y∑=iy∑zi=2zG光学中，两个振动的和称偏振。ϕ1A1(,)ωϕ1oxx=cos(A1ω+tϕ1)=1Aθcos→/xA1=cosθcos(y=A2ω)t+ϕ2=cos(2Aθ+Δϕ→y)A2=/θ+Δϕcos()cos()θ+Δϕcos=θcosΔϕ−θΔsinϕ移项、平方sin2/y(A/2=)xcos1AΔ−ϕ1x−(A1/Δ)ϕsin22222(/x)A(21−/xy1)A2cosΔAϕ+y(A2=/Δ)ϕsin2011年3月24日大连理工大学秦颖622222(x/A)(1y+/A)2−(2xy1/2ΔA)ϕAcos=sinΔϕAy1.二者相位相同：Δϕ=2kπ2xy=Acos(ω+tϕ)AA2y=2x1x=A1cos(ω+tϕ)A12222r=x+y=A12+cos(Aω+ϕ直线轨迹谐振动t)Ay2.二者相位相反：Δϕ(=2k+1π)2xy=Acos(ω+ϕt+π)AA2y=−2x1x=A1cos(ω+tϕ)A12222r=x+y=A12+cos(Aω+ϕ直线轨迹谐振动t)2011年3月24日大连理工大学秦颖722222(x/A)(1y+/A)2−(2xy1/2ΔA)ϕAcos=sinΔϕAy3.相位超前π/2：Δϕ2=kπ+π/2222xy=−A2sin(ω+tϕx)yA12+2=1x=A1cos(ω+tϕ)A1A2顺时针旋转的称右旋椭圆运动。椭圆轨迹谐振动Ay4.相位落后π/2：Δϕ