第三课时：不等式的证明一、知识梳理1．重要不等式：如果2．定理：如果a,b是正数，那么3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）24．≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）6．推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）7.比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真10三角换元：若0≤x≤1，则可令x=sin()或x=sin2()若，则可令x=cos,y=sin()若，则可令x=sec,y=tan()若x≥1，则可令x=sec()若xR，则可令x=tan()11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法12．放缩法:13．反证法:二、典型例题讲解1.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2分析：依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解方法来变形证明：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵ab，∴(ab)2>0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0即a5+b5>a2b3+a3b22.设a,bR+，求证：证明：（作商）当a=b时，当a>b>0时，当b>a>0时，∴3.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）∧2＝0.展开得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.证法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）∧2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即证［（a+b）∧2＋（b＋c）∧2＋（c＋a）∧2］≥0．而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.4.设a、b、c均为实数，求证：++≥++.证明：∵a、b、c均为实数，∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；（＋）≥≥，当b=c时等号成立；（＋）≥≥．三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.5.若a,b,c,dR+，求证：证明：（用放缩法）记m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立6.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd＞1矛盾.所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.7.求证：≤+.剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x≥0）的单调性.证明：令f（x）=（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=≤.8.已知0<a<1，0<b<1，求证：证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点O到AD,AB的距离为a,b，则|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|其中，，，又∴9．若x>0,y>0,x+y=1，则（构造函数法）左边令t=xy，则在上单调递减∴三、同步练习1、下列命题中的真命题是（）（A）若a，b，cR，且a＞b，则ac2＞bc2（B）若a，bR，且ab≠0，则≥2（C）若a＞b，c＞d＞0，则（D）若aR，则a2+3＞2a2、设a＞0且a≠1，A=loga(a3+1),